如图所示.在倾角为θ的足够长的斜面上.有一质量为M的长木板．开始时.长木板上有一质量为m的小铁块以相对地面的初速度v0从长木板的中点沿长木板向下滑动.同时长木板在沿斜面向上的拉力作用下始终做速度为v的匀速运动(已知v0＞v).小铁块最终跟长木板一起向上做匀速运动．已知小铁块与木板.木板与斜面间的动摩擦因数均为μ.试求:(1)小铁块在长木板上� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

（2010?渭南一模）如图所示，在倾角为θ的足够长的斜面上，有一质量为M的长木板．开始时，长木板上有一质量为m的小铁块（视为质点）以相对地面的初速度v₀从长木板的中点沿长木板向下滑动，同时长木板在沿斜面向上的拉力作用下始终做速度为v的匀速运动（已知v₀＞v），小铁块最终跟长木板一起向上做匀速运动．已知小铁块与木板、木板与斜面间的动摩擦因数均为μ（μ＞tanθ），试求：
（1）小铁块在长木板上滑动时的加速度大小和方向？
（2）长木板至少要有多长？
（3）小铁块从中点开始运动到最终匀速运动的过程中拉力做了多少功？

分析：（1）小铁块在长木板上滑动时受到重力、木板的支持力和摩擦力作用，根据牛顿第二定律求解加速度．
（2）小铁块先沿斜面向下匀减速至速度为零再沿斜面向上匀加速，最终跟长木板一起向上做匀速运动．由于铁块变速运动过程的加速度一定，看成一种匀减速运动，取沿斜面向上方向为正方向，此过程的初速度为-v₀，末速度为v，由速度公式可求出时间．由位移公式分别此段时间内小铁块的位移s₁和木板的位移s₂，由几何关系得，长木板的长度应满足：

≥s₁+s₂，即可求解长木板的最小的长度L．
（3）长木板始终沿斜面向上做匀速运动，由平衡条件求出拉力F，再求解其做功．

解答：解：（1）小铁块在长木板上滑动时受到重力、木板的支持力和沿板向上的滑动摩擦力作用，设小铁块的加速度大小为a，对小铁块受力分析有（取沿斜面向上为正）：
μmgcosθ-mgsinθ=ma
得 a=g（μcosθ-sinθ）
因为μ＞tanθ，所以小铁块与木板有相对滑动时的加速度沿斜面向上．
（2）小铁块先沿斜面向下匀减速至速度为零再沿斜面向上匀加速，最终获得稳定速度v，设t后小铁块达到稳定速度，则
v-（-v₀）=at
得 t=

v0+v

g(μcosθ-sinθ)

设此段时间内小铁块的位移为s₁，木板的位移为s₂，有：
s1=

(v0-v)t

方向沿斜面向下（式中v₀＞v）
s₂=vt　　　　　方向沿斜面向上
∵

≥s₁+s₂
∴L≥2（s₁+s₂）=

(v0+v)2

g(μcosθ-sinθ)

（3）对木板M受力分析知拉力为恒力：F=μ（m+M）gcosθ+μmgcosθ+Mgsinθ
则由W=Fs₂=Fvt得：
W=

[μ(m+M)gcosθ+μmgcosθ+Mgsinθ]

μgcosθ-gsinθ

（v₀+v）v=

[μ(m+M)cosθ+Msinθ](v0+v)v

μcosθ-sinθ

答：
（1）小铁块在长木板上滑动时的加速度大小是g（μcosθ-sinθ），方向沿斜面向上．
（2）长木板至少长

(v0+v)2

g(μcosθ-sinθ)

．
（3）小铁块从中点开始运动到最终匀速运动的过程中拉力做功为

[μ(m+M)cosθ+Msinθ](v0+v)v

μcosθ-sinθ

．

点评：本题是两个物体多个过程的问题，分析物体的运动过程是基础，把握临界条件是解题的关键．

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