Question

18．如图所示，一小物体从光滑的$\frac{1}{4}$圆轨道的顶端A点处静止释放，到达底端时滑入水平的传送带，传送带由电动机驱使逆时针转动，速度的大小始终是v．已知圆轨道的半径为R，传送带与物体之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，假设传送带无限长，则（　　）

• A． 若v≥$\sqrt{2gR}$，则小物体能再次返回到A点处
• B． 若0＜v＜$\sqrt{2gR}$，则小物体能再次返回到A点处
• C． 若v≥$\sqrt{2gR}$，整个过程中产生的内能Q=2mv$\sqrt{2gR}$
• D． 若0＜v＜$\sqrt{2gR}$，整个过程中产生的内能Q=2mv$\sqrt{2gR}$

Answer 1

分析 物体在曲面上运动时，机械能守恒，根据机械能守恒定律求出物体到达曲面底端时的速度大小，分两种情况讨论，若传送带速度大于物体到达曲面底端时的速度，物体在传送带上先向右时做匀减速直线运动，速度减为零后，向右做匀加速直线运动，返回时到达圆轨道底端的速度仍为到达底端的速度，若传送带速度小于物体到达曲面底端时的速度，物体在传送带上先向右时做匀减速直线运动，速度减为零后，向右做匀加速直线运动，返回时到达圆轨道底端的速度与传送带速度相等，整个过程中产生的内能等于摩擦力乘以相对位移，根据牛顿第二定律结合运动学基本公式求解．

解答 解：A、物体从曲面上下滑时机械能守恒，有$mgh=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，解得物体滑到底端时的速度${v}_{0}=\sqrt{2gR}$，物体在传送带上先向右时做匀减速直线运动，速度减为零后，向右做匀加速直线运动，
若v≥$\sqrt{2gR}$，返回时到达圆轨道底端的速度仍为速度${v}_{0}=\sqrt{2gR}$，则小物体能再次返回到A点处，若0＜v＜$\sqrt{2gR}$，返回时到达圆轨道底端的速度为v，则不能到达A点，故A正确，B错误；
C、若v≥$\sqrt{2gR}$，物体在传送带上向右时做匀减速直线运动的加速度大小a=$\frac{μmg}{m}=μg$，运动的位移${x}_{1}=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2a}=\frac{gR}{μg}$，运动的时间$t=\frac{{v}_{0}}{μg}=\frac{\sqrt{2gR}}{μg}$，则传送带运动的位移${x}_{2}=vt=\frac{v\sqrt{2gR}}{μg}$，
相对位移$△{x}_{1}={x}_{1}+{x}_{2}=\frac{gR}{μg}+\frac{v\sqrt{2gR}}{μg}$，返回时做匀加速直线运动，加速度大小和运动时间都不变，则相对位移$△{x}_{2}={x}_{2}-{x}_{1}=\frac{v\sqrt{2gR}}{μg}-\frac{gR}{μg}$，
则整个过程中产生的热量Q=μmg（△x₁+△x₂）=2mv$\sqrt{2gR}$，故C正确；
D、若0＜v＜$\sqrt{2gR}$，则返回时速度等于v后和传送带一起匀速运动，返回时的相对位移小于v≥$\sqrt{2gR}$时返回的相对位移，则产生的热量Q＜2mv$\sqrt{2gR}$，故D错误．
故选：AC

点评 本题综合考查了机械能守恒定律、牛顿第二定律以及运动学基本公式的直接应用，综合性较强，明确整个过程中产生的内能等于摩擦力乘以相对位移，难度适中．