Question

19．如图所示，在直角坐标系的xoy第一象限中存在竖直向下的匀强电场，电场大小为4E₀，虚线是电场的理想边界线，虚线右端与x轴相交于A（L，0）点，虚线与x轴所围成的空间内没有电场；在第二象限中存在水平向右的匀强电场．电场强度大小为E₀．M（-L，L）和N（-L，0）两点的连线上有一个粒子的发生器装置，可产生质量均为m，电量均为q的静止的带正电的粒子，不计粒子的重力和粒子之间的相互作用，且整个装置处于真空中．

（1）若粒子从M点由静止开始运动，进入第一象限后始终在电场中运动并恰好到达A点，求该过程中粒子运动时间t及到达A点的速度的大小；
（2）若从MN连线上的各点由静止开始运动的所有粒子，经第一象限的电场偏转穿过虚线后都能到达A点，求此边界线（图中虚线）的方程；
（3）若将第一象限的电场撇去，在第一、四象限中加上垂直平面xoy圆形区域的匀强磁场，OA为圆形区域的直径，从MN连线上的各点由静止开始运动的一些粒子，经第一象限的磁场偏转后都能从圆形区域的最低点射出磁场，求此匀强磁场的方向和大小．

Answer 1

分析 （1）由牛顿第二定律求得加速度，然后由运动学的公式即可求得运动的时间与到达A的速度；
（2）结合（1）的公式，按照题目的条件写出相应的方程，即可求解；
（3）根据带电粒子在电场中加速，可知，粒子的电性，再根据左手定则，结合粒子在磁场中偏转方向，即可判定磁场的方向，由几何关系，知道已知长度与运动的轨道半径的关系，从而求解磁场的大小．

解答 解：（1）粒子在第二象限的电场中匀加速的加速度：a=$\frac{q{E}_{0}}{m}$
时间：L=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$•$\frac{{E}_{0}q}{m}$${t}_{1}^{2}$L；
在第一象限运动时间：L=$\frac{1}{2}$$\frac{4{E}_{0}q}{m}$•${t}_{2}^{2}$
这个过程中该粒子所用的时间：t=t₁+t₂=$\frac{3}{2}\sqrt{\frac{2Lm}{{qE}_{0}}}$
由动能定理：E₀qL=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
4E₀qL=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$ 
  解得：v=$\sqrt{\frac{10L{E}_{0}q}{m}}$；
（2）设粒子从P点坐标为（-L、y₀）由静止匀加速直线运动，粒子进入第一象限做类平抛运动，经Q点后做匀速直线运动，
设Q点坐标为（x、y）；
粒子进入第一象限的速度：E₀qL=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
做类平抛运动经Q点时，水平：x=v₀t    
竖直：y₀-y=$\frac{1}{2}$•$\frac{4{E}_{0}q}{m}$t²；   
代入得：y₀-y=$\frac{1}{2}$•$\frac{4{E}_{0}q}{m}$（$\frac{x}{{v}_{0}}$）²=$\frac{{x}^{2}}{L}$
把上面两式相除得：$\frac{{y}_{0}-y}{x}$=$\frac{\frac{4{E}_{0}q}{m}t}{2{v}_{0}}$=$\frac{{v}_{y}}{2{v}_{0}}$
QA与x轴成θ角可得：tanθ=$\frac{y}{L-x}$；
由速度分解：tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{2（{y}_{0}-y）}{x}$；
整理得边界方程：y=$\frac{2}{L}$（Lx-x²），且有（0≤x≤L；0≤y≤$\frac{L}{2}$）；
（3）带电粒子在电场力作用下，加速运动，根据第二象限的电场方向，可知，粒子带正电，
由于粒子经过磁场后，从最低点射出，则洛伦兹力偏向下，
根据左手定则可知，磁场的方向垂直向外；
当从N点射入磁场的粒子，经过磁场偏转后，从磁场最低点射出，
则运动轨道对应的半径为R=$\frac{L}{2}$；

根据牛顿第二定律，则有：$Bq{v}_{0}=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，
且E₀qL=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
解得：B=$\frac{m\sqrt{\frac{2q{E}_{0}L}{m}}}{q×\frac{L}{2}}$=2$\sqrt{\frac{2{E}_{0}m}{qL}}$；
答：（1）这个过程中该粒子运动的时间及到达A点的速度大小是$\sqrt{\frac{10L{E}_{0}q}{m}}$；
（2）若从MN线上M点下方由静止发出的所有粒子，在第二象限的电场加速后，经第一象限的电场偏转穿过虚线边界后都能到达A点，此边界（图中虚线）方程是：y=$\frac{2}{L}$（Lx-x²），且有（0≤x≤L；0≤y≤$\frac{L}{2}$）；
（3）此匀强磁场的方向垂直向外和大小2$\sqrt{\frac{2{E}_{0}m}{qL}}$．

点评 以带电粒子在电场中运动为命题情境，考查学生运用数学知识解决物理问题的能力，注意正确画出运动轨迹，并应用数学中几何关系，是解题的关键．
第（1）问题：另一解：
粒子在第二象限的电场中匀加速的时间：L=$\frac{1}{2}$•$\frac{q{E}_{0}}{m}$${t}_{1}^{2}$
得时间：t₁=$\sqrt{\frac{2Lm}{q{E}_{0}}}$；  
到y轴的速度：v₁=$\frac{q{E}_{0}}{m}{t}_{1}$=$\sqrt{\frac{2L{E}_{0}q}{m}}$
在第一象限做类平抛运动，水平：L=v₁t₂；得：t₂=$\sqrt{\frac{mL}{2{E}_{0}q}}$
竖直：v_y=$\frac{4{E}_{0}q}{m}$t₂=2$\sqrt{\frac{2L{E}_{0}q}{m}}$；      
这个过程中该粒子所用的时间：t=t₁+t₂=$\frac{3}{2}$$\sqrt{\frac{2Lm}{q{E}_{0}}}$
该过程中粒子到达A点的速度：v=$\sqrt{{v}_{1}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{\frac{10L{E}_{0}q}{m}}$．