Question

【题目】如图所示的竖直平面内，相距为d不带电且足够大的平行金属板M、N水平固定放置，与灯泡L、开关S组成回路并接地，M板上方有一带电微粒发射源盒D，灯泡L的额定功率与额定电压分别为PL、UL.电荷量为q、质量为m1的带电微粒以水平向右的速度v0连续发射，D盒右端口距M板高h，带电微粒落到M板上后其电荷立即被吸收且在板面均匀分布，在板间形成匀强电场，当M板吸收一定电量后闭合开关S，灯泡能维持正常发光，质量为m2的带电粒子Q以水平速度从左侧某点进入板间，并保持该速度穿过M、N板.设带电微粒可视为质点，重力加速度为g，忽略带电微粒间的相互作用及空气阻力，试分析下列问题：

（1）初始时带电微粒落在M板上的水平射程为多少?

（2）粒子发射源的发射功率多大？

（3）若在M、N板间某区域加上磁感应强度为B、方向垂直于纸面的匀强磁场，使Q粒子在纸面内无论从左侧任何位置以某最小的水平速度进入，都能到达N板上某定点O，求该Q粒子的最小速度和所加磁场区域为最小时的几何形状及位置。

Answer 1

【答案】（1）（2）（3），磁场的最小区域为圆，半径为d，圆心为距O点d的板间中心处

【解析】（1）由题知，在初始时M板不带电，带电微粒在空间做平抛运动．设带电微粒到达M板的时间为t1，水平射程为l1，有：
h＝gt12…①
l1=v0t1…②
联立①、②，得…③
（2）灯泡正常发光，金属板M、N间的电压为UL，由电容器知识可知，金属板M、N所带电量为定值．这时落到板M的电量全部流过灯泡．设流过灯泡的电流为IL，在时间t内流过灯泡的电量为QL，有PL=ILUL…④QL=ILt…⑤
设单位时间发射带电微粒的个数为n，有QL=nqt…⑥
联立④⑤⑥，得 …⑦
根据功率知识，有 …⑧
（3）闭合开关S后，M、N板间为匀强电场，Q进入后速度不变，则说明Q所受电场力与重力平衡，设Q粒子电荷量为q2有q2

=m2g，q2＝ …⑨
再进入磁场区域必做匀速圆周运动．以O点为坐标原点如图建立直角坐标系xOy，Q进入板间做匀速直线运动，到达G点时进入磁场做匀速圆周运动到达O点．设Q做匀速圆周运动的圆心为C，半径为r，OC与水平方向的夹角为θ，G点的坐标为（x，y），有
x=-rcosθ…⑩
y=r+rsinθ…（11）
联立⑨⑩式，得
x2+（y-r）2=r2…（12）
由（12）式知道磁场在y轴左边的边界为半圆，要让Q粒子以最小速度在板间任何位置水平入射进入且又要该圆为最小，必有r=d…（13）
Q靠近M板进入磁场时做匀速圆周运动的轨迹为y轴右边的半圆，其方程为

x2+(y)2＝()2…（14）
Q从其它位置进入磁场做匀速圆周运动的轨迹不会超出y轴与此半圆所围区域，故磁场在y轴右边区域最小的边界也为该半圆，则磁场的最小区域为圆，半径为d，圆心为距O点d的板中心处．