Question

12．AB两个质量均为m的小球，被一轻杆AB固定，轻杆长AB=L，OA=$\frac{L}{3}$，杆可绕O点的水平轴无摩擦地转动，初始时杆静止在竖直位置，如图所示，今在B球上施加一水平方向恒力F=$\frac{\sqrt{3}}{2}$mg，试求：
（1）在转动过程中B球获得的最大速度为是多少？
（2）AB杆与竖直方向的最大夹角为多大．

Answer 1

分析 （1）B球获得最大速度时，系统处于力矩平衡状态，根据力矩平衡列式即可求解最大夹角；设B球最大速度为v，则此时A球的速度应为$\frac{v}{2}$，根据动能定理列式即可求解v．
（2）由动能定理求最大偏角．

解答 解：（1）B球获得最大速度时，系统处于力矩平衡状态，设杆和竖直方向夹角为θ，应有：
  mg$\frac{L}{3}$sinθ+F$•\frac{2}{3}$Lcosθ=mg$•\frac{2L}{3}$sinθ，
可得 θ=60°；
设B球最大速度为v，则此时A球的速度应为$\frac{v}{2}$，根据动能定理得：
F•$\frac{2}{3}$Lsinθ-mg•$\frac{2L}{3}$（1-cosθ）+mg•$\frac{L}{3}$（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$mv²+$\frac{1}{2}$m（$\frac{1}{2}$v）²，
解得：v=$\sqrt{\frac{8}{15}gL}$．
（2）设AB杆与竖直方向的最大夹角为α．
根据动能定理得：
  F•$\frac{2}{3}$Lsinα-mg•$\frac{2L}{3}$（1-cosα）+mg•$\frac{L}{3}$（1-cosα）=0
将F=$\frac{\sqrt{3}}{2}$mg，代入解得：α=120°（另一值不合理，舍去）
答：
（1）在转动过程中B球获得的最大速度为是$\sqrt{\frac{8}{15}gL}$．
（2）AB杆与竖直方向的最大夹角为120°．

点评 本题关键要分析出小球速度最大的条件：力矩平衡，运用力矩平衡条件和动能定理结合解答，要注意两球高度变化的不同．