Question

8．如图所示，两个可导热的汽缸竖直放置，它的底部由一细管连通（忽略细管的容积）．两汽缸各有一活塞，质量分别为m₁和m₂，活塞与汽缸壁无摩擦．活塞的下方为理想气体，上方为真空．当气体处于平衡状态时，两活塞位于同一高度h．已知m₁=3m，m₂=2（假定两汽缸上方真空部分足够长，在气体状态变化过程中，两物块均不会碰到汽缸顶部．）
（1）求左右两个活塞的面积比
（2）在两活塞上同时各放一质量为m的物块，求气体再次达到平衡后两活塞的高度差（假定环境的温度始终保持为T₀）．
（3）在达到上一问终态后，环境温度由T₀缓慢上升到T，试问这个过程中，气体对活塞做了多少功？气体是吸收还是放出了热量？

Answer 1

分析 （1）不加物体时，两侧等高，说明活塞产生的压强相等；
（2）在两活塞上同时各放一质量为2m的物块后，气体全部在左侧汽缸中，先求解出气压，然后根据玻意耳定律列式求解活塞的高度；
（3）等压膨胀过程，先根据盖-吕萨克定律列式求解末状态活塞的高度，然后求解气体对活塞做多少功．

解答 解：设左、右活塞的面积分别为s_A和s_B，由于气体处于平衡状态，故两活塞对气体的压强相等，即：
$\frac{{m}_{1}g}{{S}_{1}}=\frac{{m}_{2}g}{{S}_{2}}$
解得：$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}=\frac{3}{2}$
（2）由在两个活塞上各加一质量为m的物块后，右边物体对活塞产生的压强较大，所以气体向左气缸移动，最终右活塞降至气缸底部，所有气体都在左气缸中．
在初态，气体的压强为：${P}_{1}=\frac{{m}_{1}g}{{S}_{1}}=\frac{3mg}{{S}_{1}}$体积为：${V}_{1}=h{S}_{1}+h{S}_{2}=\frac{5}{3}h{S}_{1}$；
在末态，气体压强为：${P}_{2}=\frac{{m}_{1}g+mg}{{S}_{1}}=\frac{4mg}{{S}_{1}}$，体积为V₂=h′S₁（h′为左侧气柱高度）
由玻意耳定律得：P₁V₁=P₂V₂
代入数据解得：$h′=\frac{5}{4}h$
即两活塞的高度差为$\frac{5}{4}h$
（3）当温度由T₀上升至T时，气体做等压变化，
设h″是温度达到T时左活塞的高度，
由盖•吕萨克定律得：$\frac{h′{S}_{1}}{{T}_{0}}=\frac{h″{S}_{2}}{T}$
解得：$h″=\frac{5hT}{4{T}_{0}}$
气体对活塞做的功为：W=Fs=4mg（h″-h′）=$\frac{5mg（T-{T}_{0}）}{{T}_{0}}$
温度升高，气体内能增大，根据热力学第一定律知气体应从外界吸热．
答：（1）左右两个活塞的面积比$\frac{3}{2}$
（2）在两活塞上同时各放一质量为m的物块，气体再次达到平衡后两活塞的高度差$\frac{5}{4}h$．
（3）在达到上一问终态后，环境温度由T₀缓慢上升到T，试问这个过程中，气体对活塞做功$\frac{5mg（T-{T}_{0}）}{{T}_{0}}$，气体吸收热量．

点评 本题关键是明确气体经历等压过程，然后灵活地选择气体实验定律列方程求解左侧活塞的高度，再根据功的公式列式求解．