Question

4．设地球的半径为R，表面重力加速度为g，则在围绕地球做匀速圆周运动的不同轨道的人造卫星中，
（1）运行线速度的最大值是多大；
（2）周期的最小值是多少．

Answer 1

分析 设地球的质量为M，静止在地面上的物体质量为m，根据地球表面重力等于向心力列式，再根据人造地球卫星做匀速圆周运动时由万有引力提供向心力列式，由以上两式即可求得该人造地球卫星的线速度的最大值和最小周期．

解答 解：（1）根据万有引力提供向心力得
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
在地球表面重力与万有引力相等有：$\frac{GMm}{{{R}_{\;}}^{2}}$=mg
v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
当r=R时，运行线速度最大，
解得运行线速度的最大值v_m=$\sqrt{gR}$，
（2）根据万有引力提供向心力得
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r
T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，
当r=R，人造地球卫星周期最小，
解得周期的最小值T_m=$2π\sqrt{\frac{{R}_{\;}}{g}}$，
答：（1）运行线速度的最大值是$\sqrt{gR}$；
（2）周期的最小值是$2π\sqrt{\frac{{R}_{\;}}{g}}$．

点评 本题是万有引力提供向心力公式和黄金代换的直接应用，难度不大，属于基础题．