Question

14．宇宙中存在由质量均为m的五颗星组成的五星系统，五星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对五星系统的引力作用，假设稳定的五星系统存在的构成形式是：四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，第五颗星位于正方形对角线的交点，其余四颗星绕第五颗星座匀速圆周运动（已知引力常量为G）．
（1）根据题目描述将五星系统的情景画出；
（2）设T₁为星体运行的周期，求$\frac{{a}^{3}}{{{T}_{1}}^{2}}$=$（\frac{5\sqrt{2}+2}{2}）\frac{Gm}{4{π}_{\;}^{2}}$（结果可保留根式）
（3）根据天文观测，在距离第五颗星约几百倍a的距离处，发现一颗小天体在以周期T₂绕第五颗星做匀速圆周运动，根据已知数据确定该小天体距离第五颗星较为准确的距离．

Answer 1

分析 五星系统具有对称性，对于正方形顶点的任一颗星合力指向对角线的交点，根据牛顿第二定律和万有引力定律列式即可求解；当小天体距离第五颗星几百倍a，把五颗星视为一个质量为5m的质点，根据万有引力提供向心力求距离．

解答 解：（1）

（2）对四个顶点上的任意一颗星，根据牛顿第二定律，有
$\sqrt{2}\frac{G{m}_{\;}^{2}}{{a}_{\;}^{2}}+\frac{G{m}_{\;}^{2}}{（\sqrt{2}a）_{\;}^{2}}+\frac{G{m}_{\;}^{2}}{（\frac{\sqrt{2}a}{2}）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{1}^{2}}\frac{\sqrt{2}a}{2}$
解得：$\frac{{a}_{\;}^{3}}{{T}_{\;}^{2}}=（\frac{5\sqrt{2}+2}{2}）\frac{Gm}{4{π}_{\;}^{2}}$
（3）设该小天体质量为m′，因为距五颗星几百倍a处，所以五颗星可视为质量为5m的质点，根据万有引力提供向心力有
$G\frac{5mm′}{{r}_{\;}^{2}}=m′\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{2}^{2}}r$
解得$r′=\root{3}{\frac{5Gm{T}_{2}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}$
答：（1）如上图所示
（2）设T₁为星体运行的周期，则$\frac{{a}^{3}}{{{T}_{1}}^{2}}$为$（\frac{5\sqrt{2}+2}{2}）\frac{Gm}{4{π}_{\;}^{2}}$
（3）根据已知数据确定该小天体距离第五颗星较为准确的距离为$\root{3}{\frac{5Gm{T}_{2}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}$

点评 本题关键是明确星球转动的向心力来源，然后根据万有引力定律、向心力公式和牛顿第二定律列式后联立求解．