Question

（2007?深圳二模）科学家在地球轨道外侧发现了一颗绕太阳运行的小行星，经过观测该小行星每隔t时间与地球相遇一次（即距离最近），已知地球绕太阳公转半径是R，周期是T，设地球和小行星都是圆轨道，且在同一个面同向转动，求
（1）太阳的质量
（2）小行星与地球的最近距离．

Answer 1

分析：（1）地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解；
（2）该小行星每隔t时间与地球相遇一次，即t时间内地球多转动一圈，可以求解出小行星的周期；然后根据万有引力提供向心力列式求解出轨道半径，两个半径之差为最小距离．

解答：解：地球绕太阳运动G

Mm

R2

=m

4π2R

T2

   
故太阳的质量为：M=

4π2R3

GT2

 
（2）设小行星运行周期为T₁，

t

T

-

t

T1

=1
对小行星，有：G

Mm1

R12

=m1

4π2R1

T12

 
解得：R1=

3	t2 (t-T)2 R

    
∴小行星与地球最近距离S=R₁-R=（

3	t2 (t-T)2

-1）R
答：（1）太阳的质量为

4π2R3

GT2

；
（2）小行星与地球的最近距离为（

3	t2 (t-T)2

-1）R．

点评：本题关键建立行星匀速圆周运动的模型，然后根据万有引力提供向心力列式求解，不难．