Question

如图所示，绝缘板MN上有一小孔D，DM长度为L．MN上方有场强为E的匀强电场，电场方向竖直向下，绝缘板MN上下方有磁感应强度相同的匀强磁场，方向垂直纸面向外．MN下方是磁场的边界线MP与板MN成30°角的有界磁场．ab是一根长度为L绝缘细杆，沿电场线放置在小孔的正上方的场中，b端恰在D处．将一套在杆上的带正电的小球从a端由静止释放后，小球先做加速运动，后做匀速运动到达b端，再从缺口处进入，小球进入MN下方磁场后圆周运动轨迹恰与MP相切，已知小球与绝缘杆间的动摩擦因数为μ=0.3，小球重力忽略不计．小球与板MN接触后不再反弹．
求此带电小球从a端由静止释放后运动到达b端过程中电场力所做的功W_电与克服摩擦力所做的功W_f的比值．

Answer 1

分析：根据小球在杆上匀速运动受力平衡，可求得电场表达式，作出小球在下方磁场中的轨迹图，结合几何关系可求得小球的速度
利用电场力做功和动能定理联立可求得电场力做功和摩擦力做功的表达式，从而可求得二者之比．

解答：解：小球在杆上匀速运动时受力分析如图1所示，设小球在杆上匀速运动的速度为v，磁感应强度为B，电量是q，根据共点力平衡有：
F_电=qE=f _摩
F_洛=qvB=N _压
而 f _摩=μN_压
由以上几式解得：qE=μqvB，得：E=μvB
小球进入下方磁场后圆周运动轨迹恰与MP相切，轨迹圆的圆心为O，如图2所示．

由几何关系有：2r=L-r
解得轨迹圆半径r=

1

3

L
又由：qvB=

mv2

r

 得：v=

qBL

3m

小球从a到b过程中，W电-Wf=

1

2

mv2
W_电=qEL=qμvBL=

μq2B2L2

3m

=

q2B2L2

10m

W_f=W_电-

1

2

mv2=

q2B2L2

22.5m

故可得：W_电：W_f=9：4
答：电场力所做的功W_电与克服摩擦力所做的功W_f的比值为9：4．

点评：本题关键明确小球匀速运动时的受力状态及在磁场中运动的轨迹，结合几何关系，根据功的公式和动能定理的综合应用，综合性强．