Question

17．如图所示，水平虚线L₁、L₂之间是匀强磁场，磁场方向水平向里，磁场高度为h．竖直平面内有一等腰梯形线框，底边水平，其上下边长之比为5：1，高为2h．现使线框AB边在磁场边界L₁的上方h高处由静止自由下落，当AB边刚进入磁场时加速度恰好为0，在DC边刚进入磁场前的一段时间内，线框做匀速运动．求：
（1）在DC边进入磁场前，线框做匀速运动时的速度与AB边刚进入磁场时的速度比是多少？
（2）DC边刚进入磁场时，线框加速度的大小为多少？
（3）从线框开始下落到DC边刚进入磁场的过程中，线框的机械能损失和重力做功之比？

Answer 1

分析 （1）（2）由机械能守恒求出AB刚进入磁场时的速度．根据AB刚进入磁场时加速度恰好为0，由平衡条件列出重力与安培力的关系方程．在DC边刚进入磁场前的一段时间内，线框做匀速运动，此时线框有效切割长度为2l，由平衡条件得到重力与安培力的关系式，将两个重力与安培力的关系式进行对比，求出DC边刚进入磁场前线框匀速运动时的速度．DC边刚进入磁场瞬间，线框有效切割的长度为3l，推导出安培力表达式，由牛顿第二定律求出加速度．
（3）从线框开始下落到DC边刚进入磁场的过程中，根据能量守恒求出机械能的损失，再求解线框的机械能损失和重力做功之比．

解答 解：（1）设AB边刚进入磁场时速度为v₀，线框质量为m、电阻为R，AB=l，则CD=5l
则$mgh=\frac{1}{2}mv_0^2$
AB刚进入磁场时有，$\frac{{{B^2}{l^2}{v_0}}}{R}=mg$ 
解得：${v}_{0}=\frac{mgR}{{B}^{2}{l}^{2}}$
设DC边刚进入磁场前
匀速运动时速度为v₁，线框切割磁感应线的有效长度为2l，
${E_感}=\frac{△Φ}{△t}=\frac{B△S}{△t}=\frac{{B（{L_上}{v_1}-{L_下}{v_1}）△t}}{△t}=B（2l）{v_1}$   
线框匀速运动时有$\frac{{{B^2}{{（2l）}^2}{v_1}}}{R}=mg$；
解得：${v}_{1}=\frac{mgR}{4{B}^{2}{l}^{2}}$
所以：v₁：v₀=1：4 
（2）CD刚进入磁场瞬间，线框切割磁感应线的有效长度为3l，
E'_感=B•3l•v₁ ${F_1}=B{I_1}•3l=\frac{{{B^2}{{（3l）}^2}{v_1}}}{R}=\frac{9}{4}mg$  
有牛顿第二定律：F_合=ma
解得：$a=\frac{{{F_1}-mg}}{m}=\frac{5}{4}g$
（3）从线框开始下落到CD边进入磁场前瞬间，根据能量守恒定律得：$mg•3h-Q=\frac{1}{2}mv_1^2$
机械能损失$△E=Q=\frac{47}{16}mgh$
重力做功  W_G=mg•3h
所以，线框的机械能损失和重力做功之比△E：W_G=47：48
答：
（1）在DC边进入磁场前，线框做匀速运动时的速度与AB边刚进入磁场时的速度比是1：4 
（2）DC边刚进入磁场时，线框加速度的大小为$\frac{5}{4}g$
（3）从线框开始下落到DC边刚进入磁场的过程中，线框的机械能损失和重力做功之比为47：48

点评 本题要研究物体多个状态，再找它们的关系，关键要写出线框有效的切割长度，即与速度方向垂直的导体等效长度．