Question

7．两颗人造卫星A、B绕地球做圆周运动，周期之比为T_A：T_B=1：8，则轨道半径之比和运动速率之比分别为（　　）

• A． R_A：R_B=4：1   V_A：V_B=1：2
• B． R_A：R_B=4：1    V_A：V_B=2：1
• C． R_A：R_B=1：4    V_A：V_B=2：1
• D． R_A：R_B=1：4    V_A：V_B=1：2

Answer 1

分析 根据人造卫星的万有引力等于向心力，列式求出线速度、角速度、周期和向心力的表达式进行讨论即可．

解答 解：人造卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，设卫星的质量为m、轨道半径为r、地球质量为M，有
F=F_向
F=G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$
F_向=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=mω²r=m（$\frac{2π}{T}$）²r
因而
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=mω²r=m（$\frac{2π}{T}$）²r=ma
解得
v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$   ①
T=$\frac{2πr}{v}$=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$ ②
ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$   ③
a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$     ④
由②式可得卫星的运动周期与轨道半径的立方的平方根成正比，由T_A：T_B=1：8可得轨道半径R_A：R_B=1：4，然后再由①式v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$得线速度v_A：v_B=2：1．
故选：C．

点评 本题关键抓住万有引力提供向心力，列式求解出线速度、角速度、周期和向心力的表达式，再进行讨论．