Question

11．如图所示，一带正电的摆球从图中的C位置由静止开始摆下，摆到最低点D处，摆线刚好被拉断，此时小球恰好与水平面相切，然后沿粗糙水平面由D点向右做匀减速运动，到达小孔A进入半径R=0.1m的竖直放置的光滑圆弧轨道．圆轨道处在一个方向水平向右的有界匀强电场中，电场边界MN、PQ与圆轨道相切．若已知摆线长L=1m，θ=60°，D点与小孔A的水平距离s=2m，小球质量m=0.1kg，小球所受电场力为其重力的$\frac{3}{4}$倍，g取10m/s²．求：
（1）摆线所受的最大拉力；
（2）要使摆球进入圆轨道后能做完整的圆周运动，水平面摩擦因数μ的大小应满足什么条件？（计算结果保留2位有效数字，sin37°=0.6，cos37°=0.8）

Answer 1

分析 （1）摆球摆到D点时，摆线的拉力最大，根据机械能守恒定律求出摆球摆到D点时速度，由牛顿第二定律求出摆线的最大拉力．
（2）根据重力和电场力的合力得出等效重力场，要使摆球能进入圆轨道，并且不脱离轨道，要使摆球能进入圆轨道，恰好到达轨道等效最高点，就刚好不脱离轨道，在等效最高点时，由等效重力提供向心力，由牛顿第二定律求出此时小球的速度，对从D到轨道最高点的过程，运用动能定理求解动摩擦因数的最小值，即可得到μ的范围．

解答 解：（1）当摆球由C到D运动，机械能守恒，则得：mg（L-Lcosθ）=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
在D点，由牛顿第二定律可得：F_m-mg=$\frac{m{v}_{D}^{2}}{L}$
联立可得：摆线的最大拉力为 F_m=2mg=2N
（2）等效重力mg'=$\sqrt{（mg）^{2}+（Eq）^{2}}$=$\frac{5}{4}$mg；
方向与竖直方向夹角为tanα=$\frac{Eq}{mg}$=$\frac{3}{4}$；
则α=37°；
设等效最高点为E，则有：mg'=m$\frac{{v}_{E}^{2}}{R}$；
对摆球由动能定理可得：
-μmgs+qER（1-sinα）-mg（1+cosα）=$\frac{1}{2}$mv_E²-$\frac{1}{2}$mv_D²
要使小球能过圆轨道的最高点则不会脱离轨道，在圆周的最高点由牛顿第二定律可得：$mg=m\frac{v^2}{R}$
由动能定理可得：-μmgs-2mgR+qER=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv_D²
解得：μ=0.125
答：（1）摆线能承受的最大拉力为2N；
（2）使摆球进入圆轨道后能做完整的圆周运动，水平面摩擦因数μ的大小应满足μ≤0.125．

点评 本题考查机械能守恒定律及动能定理、向心力公式等；关键是要全面分析不能漏解，要知道摆球能进入圆轨道不脱离轨道应是恰好通过等效最高点；然后再根据牛顿第二定律、机械能守恒和动能定理结合进行求解．