Question

如图甲所示，质量分别为m=1kg，M=2kg的A、B两个小物块用轻弹簧相连而静止在光滑水平面上，在A的左侧某处另有一个质量也为m=1kg的小物块C以V=4m/s的速度正对A向右匀速运动，一旦与A接触就将粘合在一起运动，若在C与A接触前，使A获得一初速度V_A0，并从此时刻开始计时，向右为正方向，其速度随时间变化的图象如图乙所示（C与A未接触前），弹簧始终未超过弹簧性限度．
（1）在C与A接触前，当A的速度分别为6m/s、2m/s、-2m/s时，求对应状态下B的速度，并在此基础上在图乙中粗略画出B的速度随时间变化图象；
（2）若C在A的速度为V_A时与A接触，在接触后的运动过程中弹簧弹性势能的最大值为E_p，求E_P的变化范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）C与A接触前，A、B组成的系统动量守恒，由动量守恒定律得到B速度的表达式，再代入数据求出B的速度，画出图象．
（2）无论C与A如何接触，当A、B、C具有相同速度u时弹性势能最大．根据系统的动量守恒求出u．再研究A、B碰撞过程，根据动量守恒和能量守恒求出碰撞损失的机械能．由三个物体的系统机械能守恒得到弹簧弹性势能的表达式E_p表达式，分析得到范围．
解答：解：（1）由动量守恒定律 mV_A0=mV_A+MV_B   ①
得  
代入数据得 B与A对应的速度为0，2m/s，4m/s 
描绘图象如图示
（2）无论C与A如何接触，当A、B、C具有相同速度u时弹性势能最大，
 由动量守恒定律  mV+mV_A0=（2m+M）u    ②
  
设C与A碰撞前后A的瞬时速度分别为V_A、V，碰撞过程缺失机械能为△E，则
   mV+mV_A=2mV  ③
    ④
设最大的弹性势能为E_p，则   ⑤
联立②～⑤解得   ⑥
可见V_A=V时，C与A接触而粘在一起，不损失机械能，△E=0，E_P有最大值E_Pm．代入⑥式得
 
当V_A反向最大时，△E最大，E_P有最小值E_Pmin．
由第（1）问知，当V_A=-2m/s时，B的速度V_B=4m/s，这时A、B的总动能
A刚开始运动时，A、B和弹簧组成系统的总能量
可见C与A碰撞前，A的反向最大速度不会超过2m/s，代入⑥得
 
所以弹簧弹性势能最大值的变化范围是 13.5J≥E_P≥4.5J    
答：
（1）在C与A接触前，当A的速度分别为6m/s、2m/s、-2m/s时，对应状态下B的速度分别为，0，2m/s，4m/s．B的速度随时间变化图象如答图所示．
（2）E_P的变化范围为 13.5J≥E_P≥4.5J．
点评：对于这类弹簧问题注意用动态思想认真分析物体的运动过程，注意过程中的功能转化关系；解答时注意动量守恒和能量守恒列式分析求解．