Question

如图所示，是某公园设计的一种惊险刺激的娱乐设施，轨道除AB部分粗糙（μ=0.125）外，其余均光滑，AB斜面与水平面夹角为37⁰．一挑战者质量为m=60kg，沿斜面轨道滑下，然后滑入第一个圆形轨道（轨道半径R=2m），不计过B点时的能量损失，根据设计要求，在最低点与最高点各放一个压力传感器，测试挑战者对轨道的压力，并通过计算机显示出来．挑战者到达C处时刚好对轨道无压力，又经过水平轨道滑入第二个圆形轨道（轨道半径r=1.6m），然后从平台上飞入水池内，水面离轨道的距离为h=5m．g取10m/s²，人在运动全过程中可视为质点．求：
（1）在第二个圆形轨道的最高点D处挑战者对轨道的压力大小．
（2）挑战者若能完成上述过程，则他应从离水平轨道多高的地方开始下滑．
（3）挑战者入水时的速度大小是多少？方向如何？

Answer 1

分析：（1）由题，挑战者到达C处时刚好对轨道无压力，由重力提供向心力，求出C点的速度．由C到D的过程中，只有重力做功mg（2R-2r），根据动能定理求出挑战者到达D处的速度，由牛顿运动定律求解D处挑战者对轨道的压力大小．
（2）挑战者从开始下滑到C点的过程中，重力做功mg（H-2R），摩擦力做功-μmgcos37°?

H

sin37°

，根据动能定理求出高度H．
（3）挑战者从C点到落水过程中，重力做功mg（2R+h），根据动能定理求解挑战者入水时的速度大小．研究B到C的过程求出B点的速度．挑战者离开水平轨道后做平抛运动的初速度等于B点的速度，由速度的分解可求解挑战者入水时的速度．

解答：解：
（1）在C点无压力则 mg=m

v 2 C

R

由C到D动能定理得 
   mg（2R-2r）=

1

2

m

v

2 D

-

1

2

m

v

2 C

D点牛顿第二定律得 N+mg=m

v 2 D

r

联立方程得 N=750N
由牛顿第三定律得到：人对轨道的压力N′=750N
（2）挑战者从开始下滑到C点的过程中，由动能定理得
   mg（H-2R）-μmgcos37°?

H

sin37°

=

1

2

m

v

2 C

-0
代入解得 H=6m
（3）挑战者从C点到落水过程中，由动能定理得
   mg（2R+h）=

1

2

mv2
代入解得  v=10

2

m/s
  B到C动能定理得-mg?2R=

1

2

m

v

2 C

-

1

2

m

v

2 B

得v_B=10m/s
挑战者离开水平轨道后后做平抛运动．水平方向速度大小等于v_B不变．由数学知识可知，挑战者入水时的速度方向与水平方向的夹角为45°．

点评：本题是多过程问题，应用动能定理时要灵活选择研究的过程．本题研究物体在斜面上运动的过程时，也可以采用牛顿第二定律和运动学公式结合的方法进行处理．