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11.如图所示,O为地球球心,A为地球表面上的点,B为O、A连线间的点,AB=d,将地球视为质量分布均匀的球体,半径为R.设想挖掉以B为圆心、以$\frac{d}{2}$为半径的球.若忽略地球自转,则挖出球体后A点的重力加速度与挖去球体前的重力加速度之比为(  )
A.1-$\frac{d}{4R}$B.1-$\frac{d}{8R}$C.1-$\frac{d}{R}$D.$\frac{d}{R-d}$

分析 没有挖去以B为圆心、以$\frac{d}{2}$为半径的球之前,根据万有引力定律列式求解万有引力;此时的引力是以B为圆心、以$\frac{d}{2}$为半径的球的引力和剩余部分的引力的矢量和;最后根据牛顿第二定律列式求解.

解答 解:没有挖去以B为圆心、以$\frac{d}{2}$为半径的球之前,根据万有引力定律,有:
F=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$     ①
以B为圆心、以$\frac{d}{2}$为半径的球的质量为:
M1=ρV1=ρ•$\frac{4}{3}π(\frac{d}{2})^{3}$  ②
地球质量:
M=ρV=ρ•$\frac{4}{3}π{R}^{3}$   ③
地球引力是以B为圆心、以$\frac{d}{2}$为半径的球的引力和剩余部分的引力的矢量和,故:
F=G$\frac{{M}_{1}m}{{d}^{2}}$+F1    ④
联立解得:
$\frac{{F}_{1}}{F}$=1-$\frac{d}{8R}$
根据牛顿第二定律F=ma,有:
挖出球体后A点的重力加速度与挖去球体前的重力加速度之比为1-$\frac{d}{8R}$;
故选:B

点评 本题关键是采用割补法分析,明确地球引力是以B为圆心、以$\frac{d}{2}$为半径的球的引力和剩余部分的引力的矢量和,结合万有引力定律列式求解,不难.

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