Question

18．如图所示，光滑的水平轨道与竖直放置的光滑半圆形轨道顺接，圆半径为R．一小球由D点出发向A运动，通过B点时加速度大小为2g．试求：
（1）小球刚通过A点时对轨道的压力．
（2）小球通过B点时对轨道的压力．
（3）小球通过B点后的射程．

Answer 1

分析 （1）小球通过B点时加速度大小为2g，根据重力与压力的合力等于向心力求出B点的速度；对从A到B过程运用机械能守恒定律求出A点的速度，再根据在A点支持力和重力的合力提供向心力，求出支持力，然后求出压力；
（2）小球通过B点时加速度大小为2g，由牛顿第二定律即可求出物体的受力，然后由牛顿第三定律说明即可；
（3）小球离开B点后做平抛运动，根据分位移公式列式求解分析．

解答 解：（1）小球通过B点时加速度大小为2g，重力与轨道对小球的作用力的合力提供向心力，
由牛顿第二定律得：m•2g=$\frac{m{v}_{B}^{2}}{R}$，
解得：v_B=$\sqrt{2gR}$；
小球从A到B机械能守恒，由机械能守恒定律得：
mg•2R+$\frac{1}{2}$mv_B²=$\frac{1}{2}$mv_A²，
解得：v_A=$\sqrt{6gR}$，
在A点，支持力和重力的合力提供向心力，有：
F_N-mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$，
解得：F_N=7mg，
根据牛顿第三定律可知，小球在A点对轨道的压力大小为7mg，方向竖直向下；
（2）小球通过B点时加速度大小为2g，重力与轨道对小球的作用力的合力提供向心力，则：
F_N+mg=2mg
所以：F_N=mg
由牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力等于轨道对小球的支持力，即mg
（3）小球离开B点后做平抛运动，
水平方向：x=v_Bt，
竖直方向：2R=$\frac{1}{2}$gt²，
解得：x=2$\sqrt{2}$R；
答：（1）小球刚通过A点时对轨道的压力是7mg．
（2）小球通过B点时对轨道的压力是mg．
（3）小球通过B点后的射程是$2\sqrt{2}$R．

点评 本题考查了圆周运动和平抛运动的综合，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，以及知道圆周运动向心力的来源，并能灵活运用．