Question

1．一探险队在探险时遇到一山沟，垂直山沟方向的横切面如图所示，山沟的一侧OA竖直，另一侧的坡面与横切面的交线OB呈抛物线形状，与一平台BC相连．已知山沟竖直一侧OA的高度为2h，平台的高度为h，C点离竖直一侧OA的水平距离为2h．以沟底的O点为原点建立直角坐标系xOy，坡面与横切面的交线的抛物线方程为y=$\frac{{x}^{2}}{2h}$．质量为m的探险队员从山沟的竖直一侧沿水平方向跳向平台．探险队员可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g．
（1）若探险队员以速度v₀水平跳出时，落在坡面OB的某处，则他在空中运动的时间为多少？
（2）为了能跳在平台上，他的初速度大小应满足什么条件？请计算说明．

Answer 1

分析 （1）人落在OB上某位置时，确定有位置坐标，根据位置坐标可以求出平抛运动下落和水平方向的位移，根据水平方向匀速直线运动竖直方向自由落体运动列方程求解即可；
（2）人落在平台上，抓住临界点B和C分别求出初速度，则落在平台上的初速度应该介于这两个初速度之间．

解答 解：（1）设探险队员跳到坡面上时水平位移为x，竖直位移为H，
由平抛运动规律有：
x=v₀t     ①
H=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$  ②
根据几何关系有：
y=2h-H
由于落在OB上满足抛物体线方程即y=$\frac{{x}^{2}}{2h}$，
2h-H=$\frac{{x}^{2}}{2h}$    ③
由①②③可解得H=$\frac{2g{h}^{2}}{{{v}_{0}}^{2}+gh}$，
即运动时间t=$\sqrt{\frac{4{h}^{2}}{{{v}_{0}}^{2}+gh}}$．
（2）若探险员掉在C处，根据题意应该满足几何关系有：
$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，解得t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$，
又因为x=2h=v₀t，所以${v}_{0}=\sqrt{2gh}$，
若探险员掉在B 处，有：h=$\frac{{x}^{2}}{2h}$，
x=$\sqrt{2}h$=v₀t，
解得${v}_{0}=\sqrt{gh}$，
即探险员落在BC处的速度关系应该满足：$\sqrt{gh}≤{v}_{0}≤\sqrt{2gh}$．
答：（1）他在空中运动的时间为$\sqrt{\frac{4{h}^{2}}{{{v}_{0}}^{2}+gh}}$．
（2）为了能跳在平台上，他的初速度应满足$\sqrt{gh}≤{v}_{0}≤\sqrt{2gh}$．

点评 解决本题的关键知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，结合数学关系，抓住临界情况，运用运动学公式灵活求解，有一定的难度．