Question

如图所示，真空中有两水平放置的平行金属板C、D，上面分别开有正对的小孔O₁和O₂，金属板C、D接在正弦交流电源上，两板间的电压u_CD随时间t变化的图线如图所示．t=0时刻开始，从D板小孔O₁处连续不断飘入质量为 m=3.2×10^-25kg，电荷量为 q=1.6×10^-19C的带正电的粒子（可认为飘入速度为零）．在C板外侧有以CMNE为边界的长方形匀强磁场，MN与C金属板平行，相距d=10cm，O₂C的长度L=15cm，匀强磁场磁感应强度的大小为B=0.10T，方向垂直于纸面向里，粒子的重力及粒子间相互作用力忽略不计．平行金属板C、D之间的距离足够小，粒子在两板间的运动时间可忽略不计．试求：
（1）带电粒子经小孔O₂进入磁场后，飞出该磁场边界CM的最小速度为多大？
（2）从0到0.06s末时间内哪些时间段飘入小孔O₁的粒子能穿过电场并飞出磁场边界MN？
（3）在磁场边界CMNE上，有粒子射出的长度范围为多长．

Answer 1

分析：粒子在两板间的运动时间可忽略不计，可认为粒子通过电场的过程中认为电压不变．粒子在磁场做匀速圆周运动，轨迹与边界MN相切时，粒子恰好飞出MN，对应的速度最小．根据牛顿第二定律可求出最小速度．分析电压图象，确定时间范围．

解答：解：（1）设粒子飞出该磁场边界CM的最小速度为v₀，粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有
          qv₀B=m

v 2 0

r0

        粒子恰好飞出磁场时，r₀=d
       解得最小速度v₀=

qBd

m

=5×10³m/s
     （2）因为粒子在两板间的运动时间可忽略不计，所以粒子通过电场的过程中认为电压不变．
          设恰好飞出磁场边界MN的粒子在电场中运动时板间电压为U₀，
         根据动能定理，得qU₀=

1

2

m

v

2 0

，U₀=

m v 2 0

2q

=25V
         根据电压图象可知，U_CD=50sin50πtV，得到U₀=25V时，对应时刻分别为

1

300

s和

1

60

s．
         故从0到0.06s末时间内，飞出磁场边界MN时间为

1

300

s∽

1

60

s．
   （3）设粒子在磁场中运动的最大速度为vm，对应的最大半径为Rm，
        则qU_m=

1

2

m

v

2 m

，qv_mB=m

v 2 m

Rm

粒子飞出磁场边界时相对小孔向左偏移的最小距离为
        x=R_m-

R 2 m -d2

代入数据，解得x=0.0414m
则在磁场边界CMNE上，有粒子射出的长度范围为
△x=d-x=0.0586m
答：（1）飞出该磁场边界CM的最小速度为5×10³m/s．
    （2）从0到0.06s末时间内，在

1

300

s∽

1

60

s时间段飘入小孔O₁的粒子能穿过电场并飞出磁场边界MN．
    （3）在磁场边界CMNE上，有粒子射出的长度范围为0.0586m．

点评：粒子在磁场中圆周运动问题处理的基本方法是画轨迹，往往从分析边界情况，得到临界速度．常常用到几何和三角知识求解半径．