Question

如图12-1所示，有两块大小不同的圆形薄板(厚度不计)，质量

分别为M和m，半径分别为R和r，两板之间用一根长为0.4m的轻

绳相连结。开始时，两板水平放置并叠合在一起，静止于高度为

0.2m处。然后自由下落到一固定支架C上，支架上有一半径为

R‘(r<R’<R)的圆孔，圆孔与两薄板中心均在圆板中心轴线上，木

板与支架发生没有机械能损失的碰撞。碰撞后，两板即分离，直到

轻绳绷紧。在轻绳绷紧的瞬间，两物体具有共同速度V，如图12-2所示。

求：(1)若M=m，则V值为多大 (2)若M/m=K，试讨论 V的方向与K值间的关系。

Answer 1

（1）V=

（2）①K＜3时，V＞0，两板速度方向向下。

②K＞3时，V＜0，两板速度方向向上。

③K=3时，V=0，两板瞬时速度为零，接着再自由下落。

解析:

开始 M与m自由下落，机械能守恒。M与支架C碰撞后，M以原速率返回，向上做匀减速运动。m向下做匀加速运动。在绳绷紧瞬间，内力(绳拉力)很大，可忽略重力，认为在竖直方向上M与m系统动量守恒。(1)据机械能守恒：(M+m)gh=(M+m)V₀² 所以，V₀==2m/s

M碰撞支架后以Vo返回作竖直上抛运动，m自由下落做匀加速运动。在绳绷紧瞬间，M速度为V₁，上升高度为h₁，m的速度为V₂，下落高度为h₂。则：

　　h₁+h₂=0.4m，h₁=V₀t-gt²，h₂=V₀t+gt²，而h₁+h₂=2V₀t，

故：

所以：V₁=V₀-gt=2-10×0.1=1m/s V₂=V₀+gt=2+10×0.1=3m/s

根据动量守恒，取向下为正方向，mV₂-MV₁=(M+m)V，所以

那么当m=M时，V=1m/s；当M/m=K时，V=。

讨论：①K＜3时，V＞0，两板速度方向向下。

②K＞3时，V＜0，两板速度方向向上。

③K=3时，V=0，两板瞬时速度为零，接着再自由下落。