Question

10．如图所示，物体A、B之间可以有一根被压缩锁定的轻弹簧，静止在光滑轨道abcd上，其中bc为半径为R=0.1m的半圆形轨道，长为L=0.4m的传送带顺时针转动速度为v=2m/s，忽略传送带的d端与轨道c点之间的缝隙宽度，物体B与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.5．已知物体A、B可以看成质点，质量分别为2m、m，g=10m/s²．解除弹簧的锁定后，求：
（1）为了使物体B在运动中不会离开传送带和轨道，解除弹簧锁定后，B获得的速度必须满足的条件；
（2）如果m=1.0kg，开始时弹簧的弹性势能为E_p=6.75J，解除弹簧锁定后，A获得的速度大小v=1.5m/s，物体B再次落到水平轨道ab上的位置．

Answer 1

分析 （1）物体B在运动中恰好不会离开传送带，B运动到e点时速度为零，根据动能定理求出B的临界速度，从而得到速度的条件．
（2）解除弹簧锁定的过程，根据动量守恒定律可求出B获得的速度，由动能定理求出B离开传送带时的速度，结合平抛运动的规律求出B平抛运动的水平距离，即可求解．

解答 解：（1）物体B在运动中恰好不会离开传送带，B运动到e点时速度为零，从释放到运动到e点的过程，根据动能定理得：
-mg•2R-μmgL=0-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入数据解得：v_B=2$\sqrt{2}$m/s
设B恰好通过轨道最高点c时的速度为v₀．则有：
mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
代入数据解得：v₀=1m/s
B从b到c的过程，由机械能守恒定律得
  mg•2R+$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{′2}$
解得 v_B′=$\sqrt{5}$m/s
所以为了使物体B在运动中不会离开传送带和轨道，解除弹簧锁定后，B获得的速度必须满足的条件是：$\sqrt{5}$m/s≤v_B≤2$\sqrt{2}$m/s
（2）设解除弹簧锁定后B获得的速度为v₁．取向右为正方向，根据动量守恒定律得：
mv₁-2mv=0
代入数据得：v₁=3m/s
B从b到e的过程，由动能定理得：
-mg•2R-μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得B到e点时的速度为：v₂=1m/s
B离开传送带后做平抛运动，则有：
2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
x=v₂t
解得：x=0.2m
即物体B再次落到水平轨道ab上的位置到b的距离为：S=x+L=0.6m
答：（1）为了使物体B在运动中不会离开传送带和轨道，解除弹簧锁定后，B获得的速度必须满足的条件是$\sqrt{5}$m/s≤v_B≤2$\sqrt{2}$m/s．
（2）物体B再次落到水平轨道ab上的位置到b的距离是0.6m．

点评 物体B刚好到达圆形轨道最高点的临界条件是：重力等于向心力；弹簧释放的过程遵守动量守恒定律，B恰好运动到e点的临界速度为0，把握这些条件和规律是解答本题的关键．