Question

17．如图所示，空间有电场强度E=1.0×10³ V/m竖直向下的匀强电场，长L=0.4m不可伸长的轻绳一端固定于O点，另一端系一质量m=0.05kg带正电q=5×10^-4C的小球，拉起小球至绳水平后在A点无初速度释放，当小球运动至O点的正下方B点时，绳恰好断裂，小球继续运动并垂直打在同一竖直平面且与水平面成θ=30⁰，无限大的挡板MN上的C点．重力加速度g=10m/s²．试求：
（1）绳子能承受的最大拉力；
（2）A、C两点的电势差；
（3）当小球刚要运动至C点时，突然施加一恒力作用在小球上，同时把挡板迅速水平向右移动3.2m，若小球仍能垂直打在档板上，所加恒力的方向与竖直向上方向的夹角α的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由动能定理及圆周运动知识求得绳受到的拉力大小；
（2）绳断后小球做类平抛运动，根据类平抛运动知识求得小球在C点的速度，再由动能定理求得电场力在AC过程中做的功，从而得出AC两点间的电势；
（3）根据几何关系知，挡板水平移动3.2m，则小球在速度方向运动1.6m，根据几何关系分析小球受力的方向取值范围．

解答 解：（1）A→B由动能定理及圆周运动知识有：
（mg+qE）•L=$\frac{1}{2}$mv_B²            
F-（mg+qE）=$m\frac{{v}_{B}^{2}}{L}$          
代入数据可解得：F=3N                      
（2）由（1）分析得${v}_{B}=\sqrt{\frac{2（mg+qE）L}{m}}=\sqrt{\frac{2（0.05×10+5×1{0}^{-4}×1.0×1{0}^{3}）}{0.05}}$m/s=4m/s，
小球离开B点做类平抛运动，到达C点时由水平方向速度保持不变有：
小球垂直撞在斜面上，故满足${v_C}=\frac{v_B}{{sin{{30}^o}}}=8m/s$
根据动能定理有：W_电+W_G=$\frac{1}{2}$mv_c²  
而W_电=qU，
代入数据可解得：U=1600V                   
（3）挡板向右移动3.2米，小球沿速度方向运动了1.6米，
若小球做减速运动恰好垂直打到档板，则a=v²/2S=20m/s²=2g，所以要求a≤2g，F_合≤2mg
设恒力F与竖直方向的夹角为α，作出小球的受力矢量三角形分析如图所示∴α≤15°（左斜向上） 
若小球做匀速直线或匀加速直线运动垂直打在档板上，设恒力F与竖直向上方向的夹角为α，作出小球的受力矢量三角形分析如图所示 θ≤（α+θ）＜180°
0°≤α＜150°（如图斜右下方）

综上：恒力F与竖直向上的夹角α（以顺时针为正）范围为-15°≤α＜150°
答：（1）绳子至少受3N的拉力才能被拉断；
（2）A、C两点的电势差为1600V；
（3）当小球刚要运动至C点时，突然施加一恒力F作用在小球上，同时把挡板迅速水平向右移动3.2m，若小球仍能垂直打在档板上，所加恒力F与竖直向上的夹角α（以顺时针为正）范围为-15°≤α＜150°．

点评 本题是动能定理、类平抛运动的综合题，理清物体的运动过程中是正确解题问题的关键，中等偏难．