Question

8．如图甲所示，间距为d垂直于纸面的两平行板P、Q间存在匀强磁场，两板长均为L，取垂直于纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示，一比荷为$\frac{q}{m}$=5πC/kg的带正电粒子（不计重力），t=0时刻以初速度v₀由Q板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁场且平行于板面的方向水平向右射入磁场区．
（1）t=（t₀+1）s时，粒子速度首次变为水平向左，则B₁多大？
（2）满足（1）的条件下，若B₂=$\frac{1}{2}$B₁，t₀=$\frac{2}{π}$s，要使粒子速度水平向右到达P板的右端，求板长L的最小值和最大值，若板长L与板间距离d的比值为k，试求该比值的取值范围△k的最大值．

Answer 1

分析 （1）t₀时刻起粒子做匀速圆周运动，经过半个圆周速度第一次变为水平向左，结合周期公式求出磁感应强度的大小．
（2）电场力和重力平衡，粒子在磁场中做圆周运动，根据半径公式求出粒子在不同磁场中做圆周运动的半径，要使粒子能平行向右到达A板右边沿，则粒子在两种磁场中回旋半周的次数相同，结合几何关系进行求解

解答 解：（1）t₀时刻起粒子做匀速圆周运动，经过半个圆周速度第一次变为水平向左，设粒子在磁感应强度为B₁的磁场中运动周期为T₁，设粒子质量为m，电荷量为q，
有：T1=$\frac{2πm}{qB}$，且$\frac{1}{2}$T₁=1s
解得：B₁=0.2T
（2）设磁感应强度为B₁和B₂时粒子运动的半径分别为R₁和R₂，
有：R1=$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{1}}$=$\frac{{V}_{0}}{π}$，R2=$\frac{m{V}_{0}}{q{B}_{2}}$=$\frac{2{V}_{0}}{π}$，
要使粒子能平行向右到达A板右边沿，则粒子在两种磁场中回旋半周的次数相同，设为n，有：
d=2n（R₁+R₂）=$\frac{6n{V}_{0}}{π}$，
Lmin=nv0t0=$\frac{2n{V}_{0}}{π}$，
L_max=（n+1）v0t0=$\frac{2（n+1）{V}_{0}}{π}$（n=1，2，3，…）
k_max=$\frac{2n（{R}_{1}+{R}_{2}）}{n{V}_{0}{t}_{0}}$=3，
k_min=$\frac{2n（{R}_{1}+{R}_{2}）}{（n+1）{V}_{0}{t}_{0}}$=$\frac{3n}{n+1}$，（n=1，2，3，…）
△k=kmax-kmin=$\frac{3}{n+1}$，当n=1 时，△k有最大值，且最大值为：△k_max=1.5．
答：（1）B₁的大小为0.2T；
（2）比值的取值范围△k的最大值为1.5．

点评 本题考查了带电粒子在复合场中的运动，知道电场力和重力平衡，受洛伦兹力提供向心力，做圆周运动，结合半径公式、周期公式进行求解，第三问对数学能力要求较高，属于压轴部分，需加强这方面的训练