Question

（2013?和平区一模）如图所示，方向垂直纸面向里的匀强磁场的边界，是一个半径为r的圆，圆心O₁在x轴上，OO₁距离等于圆的半径．虚线MN平行于x轴且与圆相切于P点，在MN的上方是正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度的大小为E，方向沿x轴的负方向，磁感应强度为B，方向垂直纸面向外．有-群相同的正粒子，以相同的速率，在纸面内沿不同方向从原点O射入第I象限，粒子的速度方向在与x轴成θ=30°角的范围内，其中沿x轴正方向进入磁场的粒子经过P点射入MN后，恰好在正交的电磁场中做直线运动．粒子的质量为m．电荷量为q（不计粒子的重力）．求：
（1）粒子的初速率；
（2）圆形有界磁场的磁感应强度：
（3）若只撤去虚线MN上面的磁场B，这些粒子经过y轴的坐标范围．

Answer 1

分析：（1）粒子受到电场力与洛伦兹力相平衡，即可求解；
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律，即可求解；
（3）粒子从磁场射出后，分两种情况进入电场，一是坐标最大，另一是坐标最小；粒子在电场力作用下做类平抛运动，运用牛顿第二定律与运动学公式，即可求解；

解答：解：（1）带电粒子受到电场力与洛伦兹力相平衡，
则有：qE=qv₀B
解得：v0=

E

B

（2）设正粒子在圆形有界磁场中做匀速圆周运动的半径为R，
则有：R=r
洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，
则有：B′qv0=

m v 2 0

R

，
解得：B′=

mE

qBr

（3）沿x轴正方向进入圆形有界磁场的粒子经电场E偏转后，过y轴上点的坐标最大，
则有：r=

1

2

qE

m

t2  
且△y₁=v₀t₁ 
所以 y₁=△y₁+r 
解得：y1=r+

E

B

2mr Eq

沿与x轴正方向与θ=30°角进入圆形有界磁场的粒子经电场E偏转后，过y轴上点的坐标最小，
则有：

r

2

=

1

2

qE

m

t

2 2

又△y₂=v₀t₂ 
且 y₂=△y₂+r  
解得：y2=r+

E

B

mr Eq

即，r+

E

B

mr Eq

≤y≤r+

E

B

2mr Eq

答：（1）粒子的初速率

E

B

；
（2）圆形有界磁场的磁感应强度

mE

qBr

：
（3）若只撤去虚线MN上面的磁场B，这些粒子经过y轴的坐标范围r+

E

B

mr Eq

≤y≤r+

E

B

2mr Eq

．

点评：考查电场力与洛伦兹力相平衡时匀速直线运动，只有电场力作用下做类平抛运动，运用运动的分解由运动学公式与牛顿第二定律相结合；只有洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由牛顿第二定律与几何关系相结合求解．