Question

雨滴在穿过云层的过程中，不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体，其质量逐渐增大．现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞．已知雨滴的初始质量为m₀，初速度为v₀，下降距离l后与静止的小水珠碰撞且合并，质量变为m₁．此后每经过同样的距离l后，雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并，质量依次变为m₂、m₃…m_n…（设各质量为已知量）．不计空气阻力．
（1）若不计重力，求第n次碰撞后雨滴的速度v_n；
（2）若考虑重力的影响，a．求第1次碰撞前、后雨滴的速度v₁和v_n′；b．求第n次碰撞后雨滴的动能

1

2

mnv

′

2 n

．

Answer 1

分析：（1）雨滴的初始质量为m₀，初速度为v₀，下降距离L后与静止的小水珠碰撞且合并，质量变为m₁，此过程如果不计重力的影响则动量守恒，列出动量守恒的方程可求n次碰撞后雨滴的速度．
（2）a、考虑重力的影响，雨滴下落过程中做加速度为g的匀加速运动，但是碰撞瞬间动量仍然守恒，则碰撞前在位移为L的过程中匀加速直线运动，碰撞后的速度由碰撞瞬间动量守恒求得；
b、由前两次过程计算碰后的速度，归纳总结出通项式，表示出n次碰撞后速度，动能可求．

解答：解：（1）不计重力，全过程动量守恒，
     m₀v₀=m_nv_n
     得：vn=

m0

mn

v0
（2）考虑重力的影响，雨滴下落过程中做加速度为g的匀加速运动，碰撞瞬间动量守恒，
  a、第一次碰撞前 v12=v02+2gL，V1=

V02+2gL

     第一次碰撞后 m₀v₁=m₁V_n′
  Vn′=

m0

m1

v1=

m0

m1

v02+2gL

…①
  b、第2次碰撞前  v22=v′12+2gL
     利用①式化简得：v22=(

m0

m1

)2 v02+(

m02+m12

m12

)2gL…②
   第2次碰撞后，利用②式得：v′22=(

m1

m2

)2v22=(

m0

m2

)2v02+(

m02+m12

m2 2

)2gL
   同理第三次碰撞后：v′32 =(

m0

m3

)2v02+(

m02+m12+m22

m32

)2gL
    以此类推…
    第n次碰撞后：v′n2=(

m0

mn

)2v02+(

n i=0 mi2

mn2

) 2gL 
    动能为：

1

2

 mnv′n2=

1

2mn

(m02v02+2gL

i=n

i=0

mi2)
答：（1）第n次碰撞后雨滴的速度vn=

m0

mn

v0
（2）a、第1次碰撞前、后雨滴的速度分别为V1=

V02+2gL

、Vn′=

m0

m1

v02+2gL

b、第n次碰撞后雨滴的动能

1

2

mnv′n2=

1

2mn

(m02v02+2gL

i=n

i=0

mi2)

点评：物理计算题中涉及n次过程重复出现的题目，往往需要不完全归纳的方法得出通项式，本题中雨滴的n次碰撞后的速度就是典型的例子．这是一道比较困难的好题．