Question

在水平光滑的绝缘桌面内建立如图所示的直角坐标系，在虚线MON两侧区域分别称为区域一和区域二，其中一个区域内有匀强电场，另一个区域内有磁感应强度为B、方向垂直桌面的匀强磁场．现有一个质量为m、带电量为+q的小球P从坐标为（-L，0）的A点处由静止释放后，沿x轴运动至坐标原点O时，与另一与P球完全相同但不带电的静止小球Q发生碰撞并粘在一起，此后沿x轴正方向第一次经y轴进入区域二，经过一段时间，从坐标（-L，L）的C点回到区域一．若整个过程中，小球P带电量保持不变且P、Q两球可视为质点．
（1）指出哪个区域是电场、哪个区域是磁场以及电场和磁场的方向；
（2）求电场强度的大小；
（3）求小球P、Q第三次经过y轴的位置．

Answer 1

分析：（1）带电量为+q的小球P由A静止释放到O的运动可知区域一是电场，区域二为磁场；由运动方向可判断电场和磁场的方向．
（2）带电量为+q的小球在区域一中做匀加速直线运动，由动能定理可求得到达O点时的速度表达式；P、Q两球碰撞过程，由动量守恒定律可求得碰后速度的表达式；
P、Q球在磁场中一起做速率为v的匀速圆周运动，由几何关系求出轨迹半径，由牛顿第二定律求得速度，联立即可求得电场强度的大小．
（3）小球P、Q从C点回到区域一再到第三次经过y轴的过程中做类平抛运动，在电场方向上做初速度为零的匀加速直线运动，在垂直于电场的方向上做匀速直线运动，应用平抛运动的知识可求解．

解答：解：（1）区域一是方向与x轴正方向平行的匀强电场；区域二是方向垂直纸面向里的匀强磁场；                                   
（2）小球的运动轨迹如图所示．         

小球P从A运动到O点与小球Q碰撞前，设其速度为v₀，由动能定理有：qEL=

1

2

m

v

2 0

  ①
P、Q两球碰撞过程，由动量守恒定律有：mv₀=2mv  ②
P、Q球在磁场中一起做速率为v的匀速圆周运动，由几何关系可知轨迹半径：
   R=L  ③
由牛顿第二定律有：qvB=2m

v2

R

  ④
联立①②③④式解得，v=

qBL

2m

，E=

qB2L

2m

  ⑤
（3）小球P、Q从C点回到区域一再到第三次经过y轴的过程中做类平抛运动，设此过程中小球P、Q未通过MON界线，沿y轴方向的位移为y，有：a=

qE

2m

  ⑥
  L=

1

2

at2  ⑦
  y=vt  ⑧
联立⑤⑥⑦⑧式解得：y=

2

L
即小球P、Q第三次经过y轴在坐标原点O下方的位置是：y1=-(

2

L-L)=(1-

2

)L
答：
（1）区域一是方向与x轴正方向平行的匀强电场；区域二是方向垂直纸面向里的匀强磁场；          
（2）电场强度的大小为

qB2L

2m

；
（3）小球P、Q第三次经过y轴的位置为（1-

2

）L．

点评：粒子进入有边界的磁场，由于边界条件的不同，而出现涉及临界状态的临界问题，可以根据边界条件确定粒子的轨迹、半径、在磁场中的运动时间等．解决此类问题常用的方法：画图→动态分析→找轨迹．