Question

地球上空有人造地球同步通讯卫星，它们向地球发射微波．但无论同步卫星数目增到多少个，地球表面上总有一部分面积不能直接收到它们发射来的微波，请导出这个面积S与地球表面积S₀之比的数学表达式．已知地球半径R₀，地球表面的重力加速度g，半径为R、高为h的球冠的表面积为S₁=2πRh，球的表面积为S=4πR²）

Answer 1

分析：同步卫星总是在赤道上空，其高度也是一定的．由它画一条到地球表面的切线，可见两极周围的区域内就收不到微波通讯．
根据万有引力提供向心力和数学几何关系求解．

解答：解：因为同步卫星总是在赤道上空，其高度也是一定的．由它画一条到地球表面的切线，可见两极周围的区域内就收不到微波通讯．以m、M分别表示卫星和地球的质量，r表示卫星到地心的距离，T表示地球的自转周期，则对地球上质量为m₀的物体有：
    G

m0M

R02

=m0g①
对地球同步卫星有G

mM

r2

=m(

2π

T

)2r②
又根据几何关系有rsinθ=R₀③
以S′表示某个极周围收不到微波区域的面积，则S′=2π

R

0

h
其中高为h=R₀（1-cosθ）    ④
又地球表面积S₀=4π

R

2 0

地球有两个极，因而接收不到微波区域的面积与地球表面积S₀之比为：

S

S0

=

2S′

S0

=(1-cosθ)=1-

1-( 4π2R2 gT2 ) 1 3

答：面积之比为：1-

1-( 4π2R2 gT2 ) 1 3

点评：解决该题关键要根据题意找出收不到微波区域的面积，善于把物理问题与数学几何图形结合运用