Question

经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识．双星系统由两个星体构成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离．一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统来处理．现根据对某一双星系统的光度学测量确定：该双星系统中每个星体的质量都是m，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做匀速圆周运动．
（1）试计算该双星系统的运动周期T_计算；
（2）若实际上观测到的运动周期为T_观测，且T_观测：T_计算=1：

N

（N＞1）．为了解释T_观测与T_计算的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质．作为一种简化模型，我们假定在以这两个星体连线的中点为圆心、

L

4

为半径的一个球体内均匀分布着这种暗物质．若不考虑其他暗物质的影响，请根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度．（球的体积V=

4

3

πr3，式中r为球半径）

Answer 1

（1）由于每个星体的线度都远小于两星体之间的距离，满足万有引力定律的使用条件．
双星均绕它们连线的中点做匀速圆周运动，其运动的周期为T_计算，万有引力提供向心力：

Gm2

L2

=m?(

2π

T计算

)2?

L

2

；
解得 T计算=πL

2L Gm

；
（2）根据观测结果，星体的运动周期  T观测=

1

N

T计算（N＞1）．
这种差异是由双星间均匀分布的暗物质引起的．设均匀分布在半径为

L

4

的球体内的暗物质的总质量为m'．考虑暗物质作用后双星的周期即为观测到的周期T_观测，则有

Gm2

L2

+G

mm′

( L 2 )2

=m?(

2π

T  观测

)2?

l

2

；
由以上各式解得  m′=

N-1

4

m；
设所求暗物质的密度为ρ，则有m′=ρ?

4

3

?πr3，式中半径r=

L

4

；
即

N-1

4

m=ρ

4

3

π(

L

4

)3；
解得ρ=

12(N-1)m

πL3

；
答：（1）该双星系统的运动周期T_计算为πL

2L Gm

；
（2）该星系间这种暗物质的密度为

12(N-1)m

πL3

．