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如图(a)所示,在xOy竖直平面直角坐标系中,有如图(b)所示的随时间变化的电场,电场范围足够大,方向与y轴平行,取竖直向上为正方向;同时也存在如图(c)所示的随时间变化的磁场,磁场分布在x1≥x≥0、y1≥y≥-y1的虚线框内,方向垂直坐标平面,并取向内为正方向.在t=0时刻恰有一质量为m=4×10-5kg、电荷量q:1×10-4C的带正电小球以v0=4m/s的初速度从坐标原点沿x轴正向射入场区,并在0.15s时间内做匀速直线运动,g取10m/s2,sin37°=0.60,cos37°=0.80.求:精英家教网
(1)磁感应强度B的大小;
(2)0.3s末小球速度的大小及方向:
(3)为确保小球做完整的匀速圆周运动,x1和y1的最小值是多少?
分析:(1)小球做匀速直线运动,说明受到的重力.电场力与洛伦兹力的和为0,根据平衡状态的方程,即可求得磁感应强度B;
(2)在t1~t2时间内,可知,小球在电场力和重力作用下,做类平抛运动,将运动分解到水平方向和竖直方向,结合牛顿第二定律与平行四边形定则,即可求得速度的大小和方向;
(3)0.3s以后,粒子所受电场力与重力平衡,粒子在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动,由牛顿第二定律求得小球运动的半径,然后求出此时小球对应的位置,结合几何关系,确定小球轨迹的圆心的位置,最后再根据几何关系求得两个量的最小值.
解答:精英家教网解:小球运动轨迹参见图解.
(1)设t1=0.15s,在t1时间内,小球处于平衡状态,
故有:qE+mg=qB0v0…①
代入数据解得B0=2T  …②
(2)设t2=0.3s,在t1~t2时间内,由图(b)、
图(c)可知,小球在电场力和重力作用下,
做类平抛运动,t2时刻小球在x方向的速度为:vx=v0=4m/s
在y方向,根据牛顿第二定律有:
由qE+mg=ma
代入数据解得a=20m/s2…③
根据运动学公式vy=a(t2-t1)=3m/s…④
根据平行四边形定则,此时粒子的速度为:v=5m/s…⑤
设速度方向与x轴成θ,则有:tanθ=
3
4

得θ=37°
(3)由图(b)、图(c)可知,0.3s以后,粒子所受电场力与重力平衡,粒子在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动,
由牛顿第二定律qB0v=m
v2
R

代入数据解得:R=
mv
qB0
=
4×10-5×5
0-4×2
m=1
m
0~t1时间内粒子的位移:x1=v0t1=4×0.15m=0.6…⑥
在t1~t2时间内粒子在水平方向的位移:x2=v0t2=4×0.15m=0.6m…⑦
在t1~t2时间内粒子在竖直方向的位移:y2=
1
2
a(t2-t1)2=
1
2
×20×0.152m=0.225
m
由几何知识可得粒子做匀速圆周运动的圆心坐标为:x0=x1+x2+Rsin37°=0.6m+0.6m+1×0.6m=1.8m…⑧
y0=Rsin53°-
1
2
a(t2-t1)2=0.575m
…⑨
所以x1=x0+R=2.80m…⑩
y1=R+y0=1.575m
答:(1)磁感应强度B的大小为2T;
(2)0.3s末小球速度的大小为5m/s,方向与水平方向的夹角为37°向下;
(3)为确保小球做完整的匀速圆周运动,x1为2.80m,y1的最小值是1.575m.
点评:本题是力学与电学综合题,根据匀速圆周运动的规律与几何关系相结合,同时运用力学与电学的知识来解题,从而培养学生分析问题的方法,提升解题的能力.
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