Question

4．如图所示，长为L的平直轨道AB与位于竖直平面内、半径为尺的半圆形光滑轨道BCD平滑连接，半圆形轨道BCD的直径BD与水平轨道AB垂直．可视为质点的物块质量为m．在水平拉力的作用下，从水平轨道的A端由静止出发到B点时撤去拉力．又沿半圆形轨道运动，并且恰好能通过轨道最高点D．已知重力加速度为g，物块与水平轨道间的动摩擦因数为μ，求：
（1）物块通过轨道最高点D时的速度大小；
（2）物块通过半圆形轨道B点时对轨道的压力大小；
（3）水平拉力对物块所做的功．

Answer 1

分析 （1）小滑块继续沿半圆形轨道运动，且恰好能通过轨道最高点D，可知此时重力提供向心力，由牛顿第二定律列方程求解滑块通过D点的速度
（2）从B到D应用机械能守恒定律，结合第一问的结果可得B点的速度；
（3）由动能定理进行分析即可求得拉力所做的功．

解答 解：（1）设滑块恰好通过最高点D的速度为v_D，根据牛顿第二定律有：
mg=$\frac{{mv}_{D}^{2}}{R}$
解得：${v}_{D}=\sqrt{gR}$
（2）滑块自B点到D点的过程机械能守恒，设滑块在B点的速度为v_B，则有：
$\frac{1}{2}$${mv}_{B}^{2}$=$\frac{1}{{2}_{\;}^{\;}}$${mv}_{D}^{2}+2mgR$
设物块在B点所受到的支持力为FN，由牛顿第二定律可知：
F_N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得：F_N=6mg；
根据牛顿第三定律可求求得，物块对轨道的压力大小为6mg；
（3）由动能定理可知：
W-μmgL=$\frac{1}{2}$${mv}_{B}^{2}$
解得：W=$\frac{5}{2}$mgR+μmgL
答：（1）物块通过轨道最高点D时的速度大小为$\sqrt{gR}$
（2）物块通过半圆形轨道B点时对轨道的压力大小为6mg；
（3）水平拉力对物块所做的功$\frac{5}{2}$mgR+μmgL

点评 ①物体恰好通过D点是本题的突破口，这一点要注意把握；
②题目要求滑块经过B点进入圆形轨道时对轨道的压力大小而根据物体在B点的运动情况所求的是轨道对物体的支持力，故运动别忘记“由牛顿第三定律求解滑块在B点对轨道的压力