Question

5．如图所示，两根足够长的固定平行金属导轨位于同一水平面内，导轨间的距离为L，导轨上横放着两根导体棒ab和cd，它们与两金属导轨组成闭合回路．已知两根导体棒的质量均为m，导体棒ab在导轨之间的电阻为2R，导体棒cd在导轨之间的电阻为R，导轨光 滑且电阻可忽略不计，在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感强度为B．开始时，导体棒cd静止，导体棒ab具有水平向右的初速度v₀，此后的运动过程中，两导体始终与金属导轨垂直且接触良好．求：
（1）闭合回路中电流的最大值；
（2）两导体棒运动的整个过程中回路中产生的焦耳热；
（3）当导体棒ab的速度大小变为$\frac{3}{4}$v₀时，导体棒ab发热的功率及其加速度大小．

Answer 1

分析 （1）当导体棒ab刚开始运动时，闭合回路中的磁通量变化率最大，感应电动势最大，所以电流最大，根据闭合电路欧姆定律列式求解即可；
（2）以两个导体棒整体分析不受外力，动量守恒，最终两导体棒速度相同，然后根据能量守恒求解焦耳热；
（3）根据动量守恒定律求出当导体棒ab的速度大小变为$\frac{3}{4}$v₀时导体棒cd的速度，再由动生电动势公式E=BLv确定回路总电动势，然后利用闭合电路欧姆定律及安培力公式求解安培力，然后利用牛顿第二定律列式求解加速度即可

解答 解：（1）当导体棒ab刚开始运动时，闭合回路中的磁通量变化率最大，感应电动势最大，所以电流最大，
最大电动势为E_m=BLv₀
由闭合电路欧姆定律得：
最大电流为：${I}_{m}=\frac{{E}_{m}}{2R+R}=\frac{BL{v}_{0}}{3R}$
（2）运动过程中，两导体棒沿水平方向不受外力，动量守恒
设共同速度为v，则：mv₀=2mv
解得：$v=\frac{{v}_{0}}{2}$
整个过程中两导体棒组成系统损失的动能全部转化为焦耳热，根据能量守恒定律得：
$Q=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}2m（\frac{{v}_{0}}{2}）^{2}=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{4}$
（3）设ab棒的速度变为$\frac{3}{4}$时，cd棒的速度为v'，则由动量守恒可得：$m{v}_{0}=mv′+m\frac{3}{4}{v}_{0}$
解得$v′=\frac{{v}_{0}}{4}$
此时回路中的电动势为 $E=BL\frac{3}{4}{v}_{0}-BL\frac{{v}_{0}}{4}=\frac{BL{v}_{0}}{2}$
此时回路中的电流为$I=\frac{E}{3R}=\frac{BL{v}_{0}}{6R}$
 导体棒的发热功率为：$P={I}^{2}2R=\frac{{B}^{2}{L}^{2}{{v}_{0}}^{2}}{18R}$
此时ab棒所受的安培力为 $F=BIL=\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{6R}$
由牛顿第二定律可得，ab棒的加速度为：$a=\frac{F}{m}=\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{6Rm}$
答：（1）闭合回路中电流的最大值为$\frac{BL{v}_{0}}{3R}$；
（2）两导体棒运动的整个过程中回路中产生的焦耳热为$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{4}$；
（3）当导体棒ab的速度大小变为$\frac{3}{4}$v₀时，导体棒ab发热的功率为$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{{v}_{0}}^{2}}{18R}$，其加速度大小为$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{6R}$

点评 本题是动量守恒定律、牛顿第二定律及能量守恒定律在电磁感应现象中的应用问题，分析两棒组成的系统在运动过程中是不是合外力为零或者内力远大于外力的系统总动量守恒的条件，从而为确定两棒最后的末速度找到解决途径是关键，之后分析这类电磁感应现象中的能量转化较易：系统减少的动能转化为回路的焦耳热；求棒的瞬时加速度问题较为复杂：是动生电动势、动量守恒定律、牛顿第二定律及闭合电路欧姆定律综合的力电综合问题，故本题属于难题