Question

4．许多电磁现象可以用力的观点来分析，也可以用动量、能量等观点来分析和解释．
（1）如图1所示，足够长的平行光滑金属导轨水平放置，导轨间距为L，一端连接阻值为R的电阻．导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B．质量为m、电阻为r的导体棒MN放在导轨上，其长度恰好等于导轨间距，与导轨接触良好．在平行于导轨、大小为F的水平恒力作用下，导体棒从静止开始沿导轨向右运动．
a．当导体棒运动的速度为v时，求其加速度a的大小；
b．已知导体棒从静止到速度达到稳定所经历的时间为t，求这段时间内流经导体棒某一横截面的电荷量q．
（2）在如图2所示的闭合电路中，设电源的电动势为E，内阻为r，外电阻为R，其余电阻不计，电路中的电流为I．请你根据电动势的定义并结合能量转化与守恒定律证明：I=$\frac{E}{R+r}$．

Answer 1

分析 （1）a．先根据导体棒切割磁感线求出感应电流，在根据牛顿第二定律就可以求出加速度a．
b．先求出导体棒的最大速度，根据动量定理有：Pt-BL∑$\overline{I}$△t=mv_m 结合q=∑$\overline{I}△t$ 就可以求出这段时间内流经导体棒某一横截面的电荷量q
（2）根据电动势的定义有：E=$\frac{{W}_{非}}{q}$，再根据能量守恒定律，非静电力做的功应该等于内外电路产生焦耳热的总和就可以证明：I=$\frac{E}{R+r}$．

解答 解：（1）a．当导体棒运动的速度为v时，电路中的感应电动势为：E=BLV…①
电流为：I=$\frac{E}{R+r}$  ②
导体棒所受的安培力为F_安=BIL  ③
根据牛顿第二定律可得：a=$\frac{F-{F}_{安}}{m}$  ④
联立①②③④式可得：a=$\frac{F}{m}$-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{m（R+r）}$  ⑤
b．设导体棒运动稳定的速度为v_m，令⑤式中的a=0，v=v_m，
可得：v_m=$\frac{F（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$  ⑥
设某段极短的时间△t内，电路的电流为i，则安培力在这段时间内的冲量为BiL△t，在时间t内，根据动量定理有：Ft-BL∑$\overline{I}$△t=mv_m ⑦
其中，q=∑$\overline{I}△t$     ⑧
联立⑥⑦⑧式可得：q=$\frac{FT}{BL}$-$\frac{F（R+r）}{{B}^{3}{L}^{3}}$m     
（2）根据电动势的定义有：E=$\frac{{W}_{非}}{q}$    ⑨
在时间t 内通过电路的电荷量为：q=It   ⑩
根据能量守恒定律，非静电力做的功应该等于内外电路产生焦耳热的总和．
即：W_非=Q_外+Q_内
在时间t内：Q_外=I²Rt       Q_内=I²rt
联立⑨⑩式可得：EIt=I²Rt+I²rt
整理后可得：I=$\frac{E}{R+r}$    
答：（1）a．当导体棒运动的速度为v时，加速度a为  $\frac{F}{m}$-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{m（R+r）}$；
b．已知导体棒从静止到速度达到稳定所经历的时间为t，这段时间内流经导体棒某一横截面的电荷量q为  $\frac{FT}{BL}$-$\frac{F（R+r）}{{B}^{3}{L}^{3}}$m．
（2）根据电动势的定义并结合能量转化与守恒定律可证：I=$\frac{E}{R+r}$．

点评 此题考查电磁感应与牛顿第二定律相结合的题目，导体棒做加速运动，当加速度为0时，速度达到最大值，再根据能量守恒定律，非静电力做的功应该等于内外电路产生焦耳热的总和，就可以证明：I=$\frac{E}{R+r}$