Question

19．如图所示，将质量均为m厚度不计的两物块A、B用轻质弹簧相连接．第一次只用手托着B物块于H高处，A在弹簧弹力的作用下处于静止，现将弹簧锁定，此时弹簧的弹性势能为E_p，现由静止释放A、B，B物块着地后速度立即变为0，同时弹簧锁定解除，在随后的过程中B物块恰能离开地面但不继续上升．第二次用手拿着A、B两物块，使得弹簧竖直并处于原长状态，此时物块B离地面的距离也为H，然后由静止同时释放A、B，B物块着地后速度同样立即变为0．求：
（1）第二次释放A、B后，A上升至弹簧恢复原长时的速度υ₁；
（2）第二次释放A、B后，B刚要离地时A的速度υ₂．

Answer 1

分析 （1）第二次释放A、B后，A、B自由落体运动，B着地后，A和弹簧相互作用至A上升到弹簧恢复原长过程中，弹簧对A做的总功为零．对A从开始下落至弹簧恢复原长过程，对A运用动能定理即可解题；
（2）设弹簧的劲度系数为k，第一次释放AB前，弹簧向上产生的弹力与A的重力平衡，求出弹簧压缩量，第一次释放AB后，B刚要离地时弹簧产生向上的弹力与B的重力平衡，求出伸长量，第二次释放AB后，在B刚要离地时弹簧产生向上的弹力与B的重力平衡，求出伸长量，对A、B和弹簧组成的系统由机械能守恒即可解题．

解答 解：（1）第二次释放A、B后，A、B自由落体运动，B着地后，A和弹簧相互作用至A上升到弹簧恢复原长过程中，弹簧对A做的总功为零．
对A从开始下落至弹簧恢复原长过程，对A由动能定理有：
mgH=$\frac{1}{2}$mv₁² ①
解得：v₁=$\sqrt{2gH}$，方向向上．
（2）设弹簧的劲度系数为k，第一次释放AB前，弹簧向上产生的弹力与A的重力平衡．
设弹簧的形变量（压缩）为△x₁，有：△x₁=$\frac{mg}{k}$ ②
第一次释放AB后，B刚要离地时弹簧产生向上的弹力与B的重力平衡
设弹簧的形变量（伸长）为△x₂，有：△x₂=$\frac{mg}{k}$ ③
第二次释放AB后，在B刚要离地时弹簧产生向上的弹力与B的重力平衡
设弹簧的形变量（伸长）为△x₃，有：△x₃=$\frac{mg}{k}$ ④
由②③④得：△x₁=△x₂=△x₃    ⑤
即这三个状态，弹簧的弹性势能都为E_p．
在第一次释放AB后至B着地前过程，对A、B和弹簧组成的系统由机械能守恒有：
 2mgh=$\frac{1}{2}$×2mv²     ⑥
从B着地后到B刚要离地的过程，对A和弹簧组成的系统，由机械能守恒有：
  $\frac{1}{2}$mv²+E_p=mg（△x₁+△x₂）+E_P ⑦
第二次释放后，对A和弹簧系统，从A上升至弹簧恢复原长到B刚要离地过程，由机械能守恒有：
  $\frac{1}{2}$mv₁²=mg△x₃+E_P+$\frac{1}{2}$mv₂²  ⑧
由①⑥⑦⑧得：v₂=$\sqrt{gH-\frac{2{E}_{p}}{m}}$
答：（1）第二次释放A、B后，A上升至弹簧恢复原长时的速度为$\sqrt{2gH}$，方向向上．
（2）第二次释放A、B后，B刚要离地时A的速度为$\sqrt{gH-\frac{2{E}_{p}}{m}}$．

点评 本题主要考查了动能定理及机械能守恒定律的应用，要求同学们能正确分析物体的运动情况，选择正确的过程及研究对象．