Question

1．如图所示，无限长的竖直金属框顶端接入一个电容器，横跨在框架上的金属AB始终与金属框架接触良好，金属棒始终位于磁感应强度为B₁=2T，方向垂直纸面向外的水平匀强磁场中，金属棒AB的质量为200g，长度L=1m，电阻为r=1Ω，R=9Ω的定值电阻也与金属框架接触良好，竖直放置的足够长的荧光屏PQ，竖直放置的两平行金属板M，N相聚d=12cm，K₁，K₂为M，N板上的两个小孔，且K₁，K₂，C荧光屏上的O点在同一水平直线上，CK₂=2R′C点到荧光屏O点的距离为L′=2R′，以C为圆心，半径为R′=10cm的圆形区域内，由一个方向垂直纸面水平向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B₂=0.10T，AB棒由静止释放，当AB棒在匀强磁场B₁=2T中匀速下落时，比荷为2.0×10⁴C/kg的正离子流由K₁进入电场后，通过K₂向磁场中心射去，通过磁场后落在荧光屏PQ上，离子进入电场的初速度，重力，相互作用力均可忽略不计，g=10m/s²
（1）通过电阻的电流I及AB棒匀速下滑的速度v；
（2）如果正离子打在荧光屏的D点，则O，D之间的距离为多少；
（3）正离子从K₁到到荧光屏的运动时间．

Answer 1

分析 （1）AB棒匀速运动处于平衡状态，应用平衡条件求出AB的速度，然后应用E=BLv求出感应电动势，应用欧姆定律求出电流．
（2）离子在圆形磁场中做匀速圆周运动，离开磁场后做匀速直线运动，应用牛顿第二定律求出离子的轨道半径，然后求出O、D间的距离．
（3）求出离子在各阶段的运动时间，然后求出离子的总运动时间．

解答 解：（1）AB棒受到的安培力：F=B₁IL=$\frac{{B}_{1}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$，
AB棒匀速运动，由平衡条件得：mg=$\frac{{B}_{1}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$，
代入数据解得：v=5m/s，
通过电阻的电流为：：I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{{B}_{1}Lv}{R+r}$=$\frac{2×1×5}{9+1}$=1A；
（2）两极板间的电压为：U=IR=1×9=9V，
离子在极板间加速，由动能定理得：
qU=$\frac{1}{2}$mv²-0，
解得：v=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$=$\sqrt{2×2×1{0}^{4}×9}$=600m/s，
离子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：
qvB₂=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：r=2.5×10^-3m=0.25cm，
粒子运动轨迹如图所示，由几何知识得：
tanα=$\frac{r}{R′}$=$\frac{0.25cm}{10cm}$=0.025，θ=180°-2α，
tanθ=tan（180°-2α）=tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=$\frac{2×0.025}{1-0.02{5}^{2}}$=0.05，
由题意可知：C点到荧光屏O点的距离为：L′=2R′=2×10cm=20cm，
则OD间的距离为：OD=OCtanθ=20×0.05=1cm；
（3）离子在MN间的运动时间：t₁=$\frac{d}{\overline{v}}$=$\frac{d}{\frac{v}{2}}$=$\frac{2d}{v}$=$\frac{2×0.12}{5}$=0.048s，
粒子在磁场中转过的圆心角：φ=2（$\frac{π}{2}$-α）=π-2α=π-2arctan0.025，
粒子在磁场中的运动时间为：t₂=$\frac{φ}{2π}$T=$\frac{φ}{2π}$×$\frac{2πm}{q{B}_{2}}$=5（π-2arctan0.025）×10^-4s，
离子离开偏转磁场后打到荧光屏上的位移为：s=CD-r=$\sqrt{（L′）^{2}+（OD）^{2}}$-r=$\sqrt{2{0}^{2}+{1}^{2}}$-0.25≈19.77cm=0.1977m，
离子离开偏转磁场后的运动时间为：t₃=$\frac{s}{v}$=$\frac{0.1977}{5}$≈0.04s，
离子的运动总时间为：t=t₁+t₂+t₃=[0.088+5（π-2arctan0.025）×10^-4]s．
答：（1）通过电阻的电流I为1A，AB棒匀速下滑的速度v为5m/s；
（2）如果正离子打在荧光屏的D点，则O，D之间的距离为1cm；
（3）正离子从K₁到到荧光屏的运动时间为：[0.088+5（π-2arctan0.025）×10^-4]s．

点评 本题是电磁感应、力学与电磁学相结合的综合题，考查了粒子在磁场中的运动，分析清楚金属棒、粒子的运动过程是解题的前提与关键，应用平衡条件、动能定理、牛顿第二定律等知识可以解题；处理离子在磁场中的运动问题时要作出粒子运动轨迹，然后应用牛顿第二定律与离子周期公式分析答题，解题时要注意几何知识的应用．