Question

如图所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，自然状态时其右端位于B点．水平桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道MNP，其形状为半径R=0.8m的圆环剪去了左上角135°的圆弧，MN为其竖直直径．用质量m₁=0.4kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点，释放后弹簧恢复原长时物块恰停止在B点．用同种材料、质量为m₂=0.2kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点释放，物块过B点时速度为6m/s，物块与桌面的动摩擦因数μ=0.4，B、D间水平距离S_BD=2.5m，物块飞离桌面后由P点沿切线落入圆轨道．g=10m/s²，求：
（1）物块离开桌面D时的速度大小
（2）P点到桌面的竖直距离h
（3）判断m₂能否沿圆轨道到达M点（要求计算过程）．
（4）释放后m₂运动过程中克服桌面摩擦力做的功

Answer 1

分析：（1）度B到D过程运用动能定理列式求解即可；
（2）物块飞离桌面后由P点沿切线落入圆轨道，得到P点速度方向，正交分解后得到P点的竖直分速度，然后对竖直分运动根据速度位移关系公式列式求解；
（3）先假设物块能到最高点，根据动能定理列式求解出最高点速度；再计算滑块恰好到最高点的速度；两个速度比较即可；
（4）对两次过程运用功能关系列式后联立求解．

解答：解：（1）设物块离开桌面D时的速度为v_D
由动能定理可得 -μmgSBD=

1

2

m

v

2 D

-

1

2

m

v

2 B

得v_D=4m/s
（2）设物块落到P点时其竖直速度为v_y
由  

vy

vD

=tan45°

v

2 y

=2gh
得h=0.8m                          
（3）若物块能沿轨道到达M点，其速度为v_M，由动能定理可得

1

2

m2

v

2 M

=

1

2

m2

v

2 D

-

2

2

m2gR
得

v

2 M

=16-8

2

若物块恰好能沿轨道过M点，则m2g=m2

v′ 2 M

R

解得

v′

2 M

=8＞

v

2 M

     即物块不能到达M点   
（4）设弹簧长为AC时的弹性势能为E_P，
释放m₁时，E_p=μm₁gs_CB
释放m₂时，Ep=μm2gsCB+

1

2

m2

v

2 0

且m₁=2m₂，可得Ep=m2

v

2 0

=7.2J
m₂在桌面上运动过程中克服摩擦力做功为W_f，
则Ep-Wf=

1

2

m2

v

2 D

          可得W_f=5.6J
答：（1）物块离开桌面D时的速度大小为4m/s；
（2）P点到桌面的竖直距离h为0.8m；
（3）物块不能到达M点；
（4）释放m₂后运动过程中克服桌面摩擦力做的功为5.6J．

点评：本题关键明确滑块的运动规律，然后分段运用动能定理、运动学公式、平抛运动的规律、功能关系列式后联立求解．