Question

如图所示，两个圆形光滑细管在竖直平面内交叠，组成“8”字形通道，在“8”字形通道底端B处连接一内径相同的粗糙水平直管AB．已知E处距地面的高度h=3.2m，一质量m=1kg的小球a从A点以速度v₀=12m/s的速度向右进入直管道，到达B点后沿“8”字形轨道向上运动，到达D点时恰好与轨道无作用力，直接进入DE管（DE管光滑），并与原来静止于E处的质量为M=4kg的小球b发生正碰（ab均可视为质点）．已知碰撞后a球沿原路返回，速度大小为碰撞前速度大小的

1

3

，而b球从E点水平抛出，其水平射程s=0.8m，（g取10m/s²）
（1）求碰后b球的速度大小？
（2）求“8”字形管道上下两圆的半径r和R．
（3）若小球a在管道AB中运动时所受阻力为定值，请判断a球返回到BA管道中时能否从A端穿出？

Answer 1

分析：（1）碰后b球做平抛运动，水平方向匀速直线运动，竖直方向上做自由落体运动，据此列方程即可求解．
（2）根据碰撞过程动量守恒，求出碰前a球速度，由于a球“到达D点时恰好与轨道无作用力”，即重力提供向心力，根据向心力公式求出上半圆的半径，然后由几何关系即可求出下半圆半径．
（3）小球在竖直轨道内运动时，机械能守恒，根据机械能守恒，求出小球在B点动能，然后根据动能定理求出从A到B过程中小球克服摩擦力做功，再根据机械能守恒求出小球返回到达B点时的动能，从而进一步根据功能关系判断小球是否能返回A点．

解答：解：（1）b球离开DE后做平抛运动：
h=

gt2

2

s=v_bt                         
解得 v_b=1m/s   
故碰后b球的速度大小为：v_b=1m/s．                            
（2）ab碰撞过程，动量守恒，以水平向右为正方向：
mva=-m

va

3

+Mvb
V_a=3m/s                                
碰前a在D处恰好与轨道无作用力：
mg=

m v 2 a

r

r=0.9m                                
R=

h-2r

2

=0.7m
故上半圆半径r=0.9m，下半圆半径R=0.7m．   
（3）小球从B到D，机械能守恒：

1

2

m

v

2 B

=

1

2

m

v

2 a

+mgh
解得：

1

2

m

v

2 B

=36.5J
从A到B过程，由动能定理得：
-Wf=

1

2

m

v

2 B

-

1

2

m

v

2 0

解得：W_f=35.5J                      
从D到B，机械能守恒有：

1

2

m(

v   a

3

)2+mgh=

1

2

m

v

′2 B

解得：

1

2

m

v

′2 B

=32.5J＜W_f                    
故，a球返回到BA管道中时，不能从A端穿出．

点评：本题过程较多较复杂，充分考查了学生应用物理知识解题的综合能力，但是只要把握功能关系这条主线，然后结合动量守恒、向心力公式等知识点便能正确解答，在平时要加强这方面能力的训练．