Question

5．A、B两列火车，在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度v_A=10m/s，B车在后，速度v_B=30m/s．因大雾能见度很低，B车在距A车△s=75m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过180m才能够停止．问：
（1）B车刹车后的加速度是多大？
（2）若B车刹车时A车仍按原速前进，请判断两车是否相撞？若会相撞，将在B车刹车后何时？若不会相撞，则两车最近距离是多少？
（3）若B车在刹车的同时发出信号，A车司机立即收到信号后加速前进，则A车的加速度至少多大才能避免相撞？

Answer 1

分析 （1）根据速度位移关系公式列式求解；
（2）当速度相同时，求解出各自的位移后结合空间距离分析；或者以前车为参考系分析；
（3）两车恰好不相撞的临界条件是两部车相遇时速度相同，根据运动学公式列式后联立求解即可．

解答 解：（1）B车刹车至停下过程中，v_t=0，v₀=v_A=30m/s，S=180m
由$0{-v}_{B}^{2}=2{a}_{B}s$解得：${a}_{B}=-\frac{{v}_{B}^{2}}{2s}=-\frac{3{0}^{2}}{2×180}m/{s}^{2}=-2.5m/{s}^{2}$
故B车刹车时加速度大小为2.5m/s²，方向与运动方向相反． 
（2）假设始终不相撞，设经时间t两车速度相等，则对B车有：v_A=v_B+a_Bt，
解得：$t=\frac{{v}_{A}-{v}_{B}}{{a}_{B}}=\frac{10-30}{-2.5}s=8s$
此时B车的位移：${s}_{B}={v}_{B}t+\frac{1}{2}{a}_{B}{t}^{2}=30×8-\frac{1}{2}×2.5×{8}^{2}$m=160m
A车的位移：S_A=v_At=10×8=80m
因S_B=160m＞△S+S_A=155m，故两车会相撞． 
设经时间t两车相撞，则有：${v}_{A}t+△s={v}_{B}t+\frac{1}{2}{a}_{B}{t}^{2}$
代入数据解得：t₁=6s，t₂=10s
故经时间6s两车相撞．
（3）设A车的加速度为a_A时两车不相撞：
两车速度相等时：v_B+a_Bt'=v_A+a_A（t'-△t），
即：30-2.5t'=10+a_A（t'-△t）
此时B车的位移：${s}_{B}={v}_{B}t′+\frac{1}{2}{a}_{B}t{′}^{2}$，
即：${s}_{B}=30t′-1.25t{′}^{2}$
A车的位移：${s}_{A}={v}_{A}t′+\frac{1}{2}{a}_{A}（t′-△t）^{2}$
要不相撞，两车位移关系满足：S_B≤S_A+△S
由以上解得：${a}_{A}≥0.83m/{s}^{2}$
答：（1）B车刹车后的加速度是-2.5m/s²；
（2）若B车刹车时A车仍按原速前进，两车相撞；将在B车刹车后6s相遇；
（3）若B车在刹车的同时发出信号，A车司机经过△t=4s收到信号后加速前进，则A车的加速度至少达到0.83m/s²才能避免相撞．

点评 本题第二问关键要判断能否追上，注意运动学公式的适用范围；第三问关键是找到恰好不追上的临界条件，较难．