Question

【题目】微观世界与宏观世界往往存在奇妙的相似性．对于氢原子模型，因为原子核的质量远大于电子质量，可以忽略原子核的运动，形成类似天文学中的恒星﹣行星系统，记为模型Ⅰ．另一种模型认为氢原子的核外电子并非绕核旋转，而是类似天文学中的双星系统，核外电子和原子核依靠库仑力作用使它们同时绕彼此连线上某一点做匀速圆周运动，记为模型Ⅱ．已知核外电子的质量为m，氢原子核的质量为M，二者相距为r，静电力常量为k，电子和氢原子核的电荷量大小均为e．
（1）模型Ⅰ、Ⅱ中系统的总动能分别用EkⅠ、EkⅡ表示，请通过定量计算来比较EkⅠ、EkⅡ的大小关系；
（2）求模型Ⅰ、Ⅱ中核外电子做匀速圆周运动的周期TⅠ和TⅡ；
（3）通常情况下氢原子的研究采用模型Ⅰ的方案，请分析这样简化处理的合理性．

Answer 1

【答案】
（1）解：模型Ⅰ中，设电子和原子核的速度分别为v对于电子绕核的运动，根据库仑定律和牛顿第二定律有：

解得：EkI= =

模型Ⅱ中，设电子和原子核的速度分别为v1、v2，电子的运动半径为r1，原子核的运动半径为r2．根据库仑定律和牛顿第二定律

对电子有： ，

解得：

对于原子核有： ，

解得： =

系统的总动能：EkⅡ=Ek1+Ek2= =

即在这两种模型中，系统的总动能相等．

答：EkⅠ、的大小为 ，EkⅡ的大小 ，两种模型中，系统的总动能相等；

（2）模型Ⅰ中，根据库仑定律和牛顿第二定律有：

解得：TI=

模型Ⅱ中，电子和原子核的周期相同，均为TⅡ

根据库仑定律和牛顿第二定律

对电子有： ，

解得：r1=

对原子核有： ，

解得：r2=

因r1+r2=r，将以上两式代入，可解得：TII=

答：模型Ⅰ、Ⅱ中核外电子做匀速圆周运动的周期 和 ；

（3）所以有， =

因为M＞＞m，可得TⅠ≈TⅡ，所以采用模型Ⅰ更简单方便．

答：因为M＞＞m，可得TⅠ≈TⅡ，所以采用模型Ⅰ更简单方便．

【解析】（1）两种模型中，核外电子都做匀速，圆周运动。向心力都是由原子核和核外电子之间的库仑力提供，根据向心力公式，结合动能公式联立求解。
（2）两种模型中库仑力提供向心力，结合周期与向心力之间的公式，联立求解即可。
（3）根据第二问的答案，分析求解即可。