Question

1932年Earnest O．Lawrence提出回旋加速器的理论，1932年首次研制成功．它的主要结构是在磁极间的真空室内有两个半圆形半径为R的金属扁盒（D形盒）隔开相对放置，D形盒上加交变电压，其间隙处产生交变电场．置于中心A处的粒子源产生带电粒子射出来（带电粒子的初速度忽略不计），受到两盒间的电场加速，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计．在D形盒内不受电场，仅受磁极间磁感应强度为B的匀强磁场的洛伦兹力，在垂直磁场平面内作圆周运动．粒子的质量为m、电荷量为+q，在加速器中被加速，加速电压为U，加速过程中不考虑相对论效应和重力作用．回旋加速器的工作原理如图．求：
（1）粒子第2次经过两D形盒间狭缝后和第1次经过两D形盒间狭缝后的轨道半径之比r₂：r₁；?
（2）粒子从静止开始加速到出口处所需的时间t．?
（3）实际使用中，磁感应强度和加速电场频率都有最大值的限制．若某一加速器磁感应强度和加速电场频率的最大值分别为B_m、f_m，试讨论粒子能获得的最大动能E_km．

Answer 1

分析：（1）粒子经过电场加速过程根据动能定理列式，圆周运动过程根据洛伦兹力提供向心力列式计算；
（2）求解出最大速度，得到最大动能；再求解出每次加速获得的动能为qU；得到加速的次数；最后运动的总时间；
（3）根据洛仑兹提供向心力，求出最大动能与磁感应强度的关系以及与加速电压频率的关系，然后分情况讨论出最大动能的关系．

解答：解：（1）设粒子第1次经过狭缝后的半径为r₁，速度为v₁，则：
Uq=

1

2

m

v

2 1

进入磁场，粒子在运动过程中有：Bqv₁=m

v 2 1

r   1

解得：r1=

1

B

2mU q

同理，粒子第2次经过狭缝后的半径：r2=

1

B

4mU q

解得：

r2

r1

=

2

1

（2）设粒子共加速了n圈，则2nqU=

1

2

mv2
洛伦兹力提供向心力，则Bqv=m

v2

r

粒子运动的周期为：T=

2πm

qB

时间与周期的关系：t=nT
解得：t=

πBR2

2U

（3）加速电场的频率应该等于粒子在磁场中做圆周运动的频率，即：f=

Bq

2πm

当磁感应强度为B_n时，加速电场的频率应该为：fBm=

Bnq

2πm

粒子的动能：Ek=

1

2

mv2
当f_Bm≤f_m时，粒子的最大动能由B_m决定，则：Bqvm=m

v2

r

解得：Ekm=

q2 B 2 m r2

2m

当f_Bm≥f_m时，粒子的最大动能由f_m决定，则：vm=2π

f

2 m

R2
解得：Ekm=2π2m

f

2 m

R2
答：（1）粒子第2次经过两D形盒间狭缝后和第1次经过两D形盒间狭缝后的轨道半径之比为

2

：1；?
（2）粒子从静止开始加速到出口处所需的时间t为

πBR2

2U

；?
（3）当f_Bm≤f_m时，粒子的最大动能为

q2 B 2 m r2

2m

；当f_Bm≥f_m时，粒子的最大动能2π2m

f

2 m

R2．

点评：本题关键明确回旋加速器的工作原理，特别是要知道加速时间很短，与回旋时间相比完全可以忽略不计．