Question

5．如图所示，球形导体空腔内、外壁的半径分别为R₁和R₂，带有净电量+q，现在其内部距球心为r的地方放一个电量为+Q的点电荷，
（1）试用高斯定理证明导体空腔内表面的感应电荷量为-Q．
（2）试求球心处的电势．

Answer 1

分析 （1）根据高斯定理的公式，结合静电平衡的特点分析即可；
（2）根据高斯定理得出各点的电场强度的表达式，然后积分即可求出．

解答 解：（1）证明：根据高斯定理，在任意场源所激发的电场中，对任一闭合曲面的总通量可以表示为：φ=4πk∑q_i，式中k是静电常量，为闭合曲面所围的所有电荷电量的代数和，由于处于静电平衡状态的导体内部场强处处为0，所以φ=0，则∑q_i=0，即：Q+q_内=0
所以：q_内=-Q．
证毕
（2）在球壳内的电场属于点电荷的电场，则场强：
${E}_{1}=\frac{kQ}{{r}^{2}}$
在球壳的内部，由静电平衡可知，E₂=0
在球壳外取：${E}_{3}=\frac{k（Q+q）}{{r}^{2}}$
取无穷远处为电势的0点，则在球壳外：
U_r=${∫}_{R2}^{∞}{E}_{3}dr$
所以球外壳 的电势：${φ}_{R2}=\frac{k（Q+q）}{{R}_{2}}$
由于球壳是等势体，所以球壳的内表面处：${φ}_{R1}={φ}_{R2}=\frac{k（Q+q）}{{R}_{2}}$
同理在球壳内的电势所有Q和其在内表面上产生的感应电荷的和，所以：${U}_{0内}=\frac{kQ}{r}-\frac{kQ}{{R}_{1}}$
联立可得：${U}_{0}=\frac{kQ}{r}-\frac{kQ}{{R}_{1}}+\frac{k（Q+q）}{{R}_{2}}$
答：（1）证明见前；
（2）球心处的电势是$\frac{kQ}{r}-\frac{kQ}{{R}_{1}}+\frac{k（Q+q）}{{R}_{2}}$．

点评 高斯定理属于大学物理的内容，在高中物理竞赛中有涉及，但不属于高考的内容，在选择时要谨慎．