Question

2．在平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅱ象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场．一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从x轴负半轴上的P₁点，以与x轴负方向成θ=60°的速度v₀射入磁场，运动到P₂点并垂直于y轴射出磁场进入电场，经x轴上的P₃点与x轴正方向成θ=60°角射入磁场，已知P₁点坐标为（-$\sqrt{3}$h，0）如图所示．不计粒子重力，求：
（1）第Ⅱ象限内磁感应强度B₀的大小；
（2）第Ⅰ象限内电场强度的大小；
（3）如果在第Ⅲ象限和第 IV象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，粒子从P₃点射出后经过该磁场后又恰好回到P₁点，求该磁场的磁感应强度B的大小．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做圆周运动，由几何关系可明确粒子半径；再由洛仑兹力充当向心力可求得磁感应强度；
（2）粒子在电场中做类平抛运动，由平抛运动规律可求得电场强度的大小；
（3）由平抛运动规律求出进入第四象限的速度，再由几何关系确定半径；则由洛仑兹力充当向心力可求得磁感应强度．

解答 解：（1）粒子在磁场中做圆周运动；由几何关系可知：
Rsin60°=$\sqrt{3}$h
解得：R=2h；
由B₀qv₀=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$可得：
B₀=$\frac{m{v}_{0}}{2qh}$；
（2）由几何关系可知，P₂点的纵坐标为R+Rsin60°=2h+h=3h；
粒子在电场中做类平抛运动，由平抛运动规律可知：
v_y²=2$\frac{Eq}{m}$×3h
tan60°=$\frac{{v}_{y}^{\;}}{{v}_{0}}$
联立解得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qh}$；
（3）由类平抛运动规律可知：
tan60=2tanα
tanα=$\frac{3h}{\frac{x}{2}}$
解得：x=2$\sqrt{3}$h；
粒子进入下方磁场的速度v=$\frac{{v}_{0}}{cos60°}$=2v₀；
要使粒子回到P₁点，则运动轨迹如图所示；
P₁P₃=4$\sqrt{3}$h+$\sqrt{3}$h=5$\sqrt{3}$h；
解得粒子在下方磁场中半径为：R′=$\frac{\frac{{P}_{1}{P}_{3}}{2}}{cos30°}$=$\frac{2.5\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=5h；
则由Bq×2v₀=m$\frac{（2{v}_{0}）^{2}}{R′}$可得：
B=$\frac{2m{v}_{0}}{qR′}$=$\frac{2m{v}_{0}}{5qh}$
答：（1）第Ⅱ象限内磁感应强度B₀的大小为$\frac{m{v}_{0}}{2qh}$；
（2）第Ⅰ象限内电场强度的大小$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qh}$；
（3）如果在第Ⅲ象限和第 IV象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，粒子从P₃点射出后经过该磁场后又恰好回到P₁点，该磁场的磁感应强度B的大小$\frac{2m{v}_{0}}{5qh}$．

点评 本题考查带电粒子在电场和磁场中的运动规律，要注意明确粒子在电场中做类平抛运动，而在磁场中做圆周运动；要明确各自规律的正确应用．