Question

13．如图所示，水平传送带以v₀=6m/s顺时针匀速转动，长为6m，右端与光滑竖直半圆弧轨道平滑对接，圆弧轨道的半径R=0.5m，O为圆心，最高点C正下方有一挡板OD，CD间距略大于物块大小，平台OE足够长，现将质量为m=1kg的物块轻放在传送带的最左端A处，物块（可视为质点）与传送带间的动摩擦因数μ=0.5，g取10m/s²．
（1）求物块从A端运动到B端的时间；
（2）试判断传送带能否将物块运送到平台上？若能，求出在C点时物块对圆弧轨道的压力大小；若不能，写出判断理由；
（3）若传送带速度v₀可以调节，求物块在平台OE上落点的区域范围．

Answer 1

分析 （1）物块放在传送带后先匀加速运动，对物块进行受力分析，由牛顿第二定律求出加速度，然后由速度位移关系公式求出物体加速到速度等于传送带的速度时通过的位移，求得加速的时间．再求匀速运动的时间，从而得到总时间．
（2）假设物体能达到最高点C，根据机械能守恒求出物块通过C点的速度，再与临界速度比较，作出判断．在C点，由合力充当向心力，由牛顿运动定律求出物块对轨道的压力．
（3）物块从C点做平抛运动，根据C点的临界速度求出平抛运动最短的水平位移．调节传送带速度v₀使物块一直加速，由运动学公式求出物块到达B点的最大速度，再结合机械能守恒定律求出通过C点的最大速度，即可求得平抛运动最大的水平位移，从而得解．

解答 解：（1）物体的加速度：a=μg=0.5×10=5m/s²
物体加速运动的位移：x₁=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$=3.6m 
所用时间：t₁=$\frac{{v}_{0}}{a}$=1.2s
匀速运动的位移：x₂=L-x₁=2.4m
时间：t₂=$\frac{{x}_{2}}{{v}_{0}}$=0.4s 
故物体在传送带上运动的总时间：t=t₁+t₂=1.6s 
（2）根据第（1）问，物块到达B端速度为v_B=6m/s，假设能达到最高点C，
BC过程，由机械能守恒定律：
  $\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$=mg•2R+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
得：v_C=4m/s
能通过最高点C的临界速度 v=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{5}$m/s
因为 v_C＞v，所以物块能到达平台上
在C点，由牛顿第二定律得
  N+mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$ 得：N=22N
由牛顿第三定律得：物块对圆轨道C点的压力大小为22N    
（3）调节传送带速度v₀可使物块恰能到达C点，此时 v_C1=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{5}$m/s
物块从C点做平抛运动，则 R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
得 t=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$=$\sqrt{\frac{1}{10}}$s     
则平抛最小的水平位移 x_min=v_C1t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m  
调节传送带速度v₀可使物块一直加速，设物块到达B点的最大速度v_B1．
由2aL=${v}_{B1}^{2}$，得 v_B1=$\sqrt{2aL}$=2$\sqrt{15}$m/s  
BC过程，由机械能守恒得
  $\frac{1}{2}m{v}_{B1}^{2}$=mg•2R+$\frac{1}{2}m{v}_{C2}^{2}$   
解得 v_C2=2$\sqrt{10}$m/s 
则平抛最大的水平位移 x_max=v_C2t=2m
所以物块落在平台OE上到O点距离范围是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$m≤x≤2m
答：
（1）物块从A端运动到B端的时间是1.6s；
（2）传送带能将物块运送到平台上，在C点时物块对圆弧轨道的压力大小是22N；
（3）若传送带速度v₀可以调节，物块落在平台OE上到O点距离范围是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$m≤x≤2m．

点评 本题的关键要正确分析物体的运动情况，要注意物体在传送带上的运动可能是一直加速，也可能是先加速后匀速，要通过计算来分析．平抛运动常用的研究方法是运动的分解法，要掌握平抛分运动的规律并能熟练运用．