Question

6．两固定水平平行金属导轨间距为L，导轨上放着两根相同导体棒ab和cd，已知每根导体棒质量均为m，电阻均为R，导轨光滑且电阻不计，整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感强度为B，开始时ab和cd两导体棒有方向相反的水平初速度，大小分别为v₀和2v₀
（1）求从开始到最终稳定的过程中回路总共产生的焦耳热；
（2）当ab棒的速度大小变为$\frac{{v}_{0}}{4}$时，求：
①通过cd棒的电荷量q为多少？
②两棒间的距离增大了多少？

Answer 1

分析 （1）由于ab、cd两导体棒切割磁感线，回路中产生感应电流．它们在安培力得作用下做减速运动，由于两棒的质量相等，所受的安培力大小相等，cd棒的初速度较大，所以当ab减速为零时，cd棒仍在向右运动，以后cd棒继续减速，而ab棒反向加速，直到两棒达到共同速度后，回路中无感应电流，两棒以相同的速度v做匀速运动．对两棒组成的系统，合外力为零，系统的动量守恒，根据两棒总动量守恒和能量守恒求解从开始到最终稳定回路中产生的焦耳热．
（2）当ab棒的速度大小变为$\frac{{v}_{0}}{4}$时有两种情况：一种速度方向向左，另一种速度方向向右．对两种情况，分别运用动量守恒定律求出cd棒的速度，再运用动量定理求通过cd棒的电荷量q，根据q=$\frac{△Φ}{R}$求两棒间的距离增加量．

解答 解：（1）从开始到最终稳定的过程中，两棒的总动量守恒，取水平向右为正方向，由动量守恒定律有：
2mv₀-mv₀=2mv_共．
解得：v_共=$\frac{{v}_{0}}{2}$
由能量守恒定律可得从开始到最终稳定回路中总共产生的焦耳热为：
Q=$\frac{1}{2}$mv₀²+$\frac{1}{2}$m（2v₀）²-$\frac{1}{2}$（2m）v_共²=$\frac{9}{4}$mv₀²
（2）分析两种情况可知，当ab棒的速度大小是$\frac{{v}_{0}}{4}$时有两种情况：
1°当ab棒的速度未反向，即向左时，设此时cd棒的速度是v₁，根据动量守恒得：
2mv₀-mv₀=mv₁-m$\frac{{v}_{0}}{4}$
解得：v₁=$\frac{5{v}_{0}}{4}$
2°当ab棒的速度反向即向右时，设此时cd棒的速度是v₂，根据动量守恒得：
2mv₀-mv₀=mv₁+m$\frac{{v}_{0}}{4}$
解得：v₂=$\frac{3{v}_{0}}{4}$
①对cd棒，由动量定理得 F_安t=m△v
其中 F_安=BIL，I=$\frac{E}{2R}$，E=BL（v_cd-v_ab），q=It
代入两种情况可得，当v_ab=-$\frac{{v}_{0}}{4}$时，有 BLq₁=mv₀-m$\frac{{v}_{0}}{4}$
解得通过cd棒的电荷量为 q₁=$\frac{3m{v}_{0}}{4BL}$．
当v_ab′=$\frac{{v}_{0}}{4}$时，有 BLq₂=mv₀+m$\frac{{v}_{0}}{4}$
解得通过cd棒的电荷量为 q₂=$\frac{5m{v}_{0}}{4BL}$
②由q=$\frac{△Φ}{2R}$=$\frac{BL△x}{2R}$
解得两棒间的距离增大△x₁=$\frac{3m{v}_{0}R}{2{B}^{2}{L}^{2}}$
或△x₂=$\frac{5m{v}_{0}R}{2{B}^{2}{L}^{2}}$
答：（1）从开始到最终稳定的过程中回路总共产生的焦耳热为$\frac{9}{4}$mv₀²；
（2）当ab棒的速度大小变为$\frac{{v}_{0}}{4}$时，求：
①通过cd棒的电荷量q为$\frac{3m{v}_{0}}{4BL}$或$\frac{5m{v}_{0}}{4BL}$．
②两棒间的距离增大了$\frac{3m{v}_{0}R}{2{B}^{2}{L}^{2}}$或$\frac{5m{v}_{0}R}{2{B}^{2}{L}^{2}}$．

点评 本题与非弹性碰撞，要抓住系统的合外力为零，遵守动量守恒定律．要知道在电磁感应中的电量往往根据动量定理求解，焦耳热往往根据能量守恒定律求解．