Question

11．如图所示，MN、PQ为相距L的光滑平行的金属导轨，导轨平面与水平面夹角为θ，导轨处于磁感应强度为B、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，在两导轨间接有一电阻为R的定值电阻，质量为m的导体棒从ab处由静止开始下滑，加速运动到位置cd处时棒的速度大小为v，此过程中通过电阻的电量为q，除R外，回路其余电阻不计，求：
（1）到cd时棒的加速度a大小；
（2）ab到cd间距离x；
（3）ab到cd过程电阻R产生的热量Q．

Answer 1

分析 （1）应用安培力公式求出安培力，然后应用牛顿第二定律求出加速度．
（2）应用法拉第电磁感应定律求出感应电动势，由欧姆定律求出感应电流，由电流定义求出电荷量，然后求出距离x．
（3）应用能量守恒定律求出电阻上产生的焦耳热．

解答 解：（1）导体棒受到的安培力：F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$，
由牛顿第二定律得：mgsinθ-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$=ma，
解得加速度为：a=gsinθ-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{mR}$；
（2）平均感应电动势为：$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{BLx}{△t}$，
平均感应电流为：$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R}$，
电荷量为：q=$\overline{I}$△t=$\frac{BLx}{R}$，
解得距离为：x=$\frac{qR}{BL}$；
（3）整个过程，由能量守恒定律得：mgxsinθ=Q+$\frac{1}{2}$mv²，
解得：Q=$\frac{mgqRsinθ}{BL}$-$\frac{1}{2}$mv²；
答：（1）到cd时棒的加速度a大小为：gsinθ-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{mR}$；
（2）ab到cd间距离x为：$\frac{qR}{BL}$；
（3）ab到cd过程电阻R产生的热量Q为：$\frac{mgqRsinθ}{BL}$-$\frac{1}{2}$mv²．

点评 本题是电磁感应与电路、力学相结合的综合，分析清楚导体棒的运动过程与受力情况是解题的前提与关键，应用安培力公式、牛顿第定律、法拉第电磁感应定律、欧姆定律、电流定义式、能量守恒定律可以解题；可以应用经验公式：q=$\frac{△Φ}{R}$求出电荷量．