Question

5．质量为4kg的长木板静止放在光滑的水平面上，可视为质点的质量为1kg的小物块以4m/s的初速度滑上木块的左端．已知物块与木板之间的滑动摩擦系数为0.2．
（1）木块与板共同前进的速度；
（2）小物块在木板上滑行的距离；
（3）若木板的长度为L=2m，为了使木块不从木板上掉下，则v₀不能超过多大．
（4）若木板的长度为L=2m，为了使木块能滑过中点但不掉下，求v₀的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对木块和木板分别运用牛顿第二定律，结合运动学公式求共同速度
（2）分别小物块和木板的位移，小物块在木板上滑行的距离即相对位移
（3）为了使木块不从木板上掉下，相对位移最大等于木板长度；
（4）根据题意，为了使木块能滑过中点但不掉下，木块相对木板的位移$\frac{L}{2}＜△s≤L$

解答 解：（1）对木块，根据牛顿第二定律有$μmg=m{a}_{1}^{\;}$
解得：${a}_{1}^{\;}=μg=0.2×10=2m/{s}_{\;}^{2}$
对木板，根据牛顿第二定律有$μmg=M{a}_{2}^{\;}$
解得${a}_{2}^{\;}=\frac{μmg}{M}=\frac{0.2×1×10}{4}=0.5m/{s}_{\;}^{2}$
设经过时间${t}_{1}^{\;}$，木块和木板速度相等，则有
${v}_{0}^{\;}-{a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{\;}={a}_{2}^{\;}{t}_{1}^{\;}$
代入数据：$4-2{t}_{1}^{\;}=0.5{t}_{1}^{\;}$
解得：${t}_{1}^{\;}=1.6s$
故木块与木板共同前进的速度$v={v}_{0}^{\;}-{a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{\;}=4-2×1.6=0.8m/s$
（2）小物块的位移${s}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{0}^{\;}+v}{2}{t}_{1}^{\;}=\frac{4+0.8}{2}×1.6=3.84m$
木板的位移${s}_{2}^{\;}=\frac{v}{2}{t}_{1}^{\;}=\frac{0.8}{2}×1.6=0.64m$
小物块在木板上滑行的距离$△s={s}_{1}^{\;}-{s}_{2}^{\;}=3.84-0.64=3.2m$
（3）经过时间${t}_{2}^{\;}$速度相等，则有
$v={v}_{0}^{\;}-{a}_{1}^{\;}{t}_{2}^{\;}={a}_{2}^{\;}{t}_{2}^{\;}$
代入数据：${v}_{0}^{\;}-2{t}_{2}^{\;}=0.5{t}_{2}^{\;}$
解得：${t}_{2}^{\;}=\frac{2}{5}{v}_{0}^{\;}$
木块与木板共同速度$v′=\frac{1}{5}{v}_{0}^{\;}$
木块的位移${s}_{1}^{′}=\frac{{v}_{0}^{\;}+v′}{2}{t}_{2}^{\;}=\frac{6}{25}{v}_{0}^{2}$
木板的位移${s}_{2}^{′}=\frac{v′}{2}{t}_{2}^{\;}=\frac{1}{25}{v}_{0}^{2}$
木块相对木板的位移$△s={s}_{1}^{′}-{s}_{2}^{′}=L$
代入数据：$\frac{6}{25}{v}_{0}^{2}-\frac{1}{25}{v}_{0}^{2}=2$
解得：${v}_{0}^{\;}=\sqrt{10}m/s$
（3）根据题意木块滑过中点但不掉下，则有
$\frac{L}{2}＜△s≤L$
代入数据：$1＜\frac{1}{5}{v}_{0}^{2}≤2$
解得：$\sqrt{5}m/s＜{v}_{0}^{\;}≤\sqrt{10}m/s$
答：（1）木块与板共同前进的速度0.8m/s；
（2）小物块在木板上滑行的距离3.2m；
（3）若木板的长度为L=2m，为了使木块不从木板上掉下，则v₀不能超过$\sqrt{10}m/s$．
（4）若木板的长度为L=2m，为了使木块能滑过中点但不掉下，v₀的取值范围$\sqrt{5}m/s＜{v}_{0}^{\;}≤\sqrt{10}m/s$．

点评 解决本题的关键理清滑块和木板在整个过程中的运动规律，结合运动学公式灵活求解，知道加速度是联系力学和运动学的桥梁