Question

如图甲所示，两平行金属板的板长l=0.20m，板间距d=6.0×10^-2m， 在金属板右侧有一范围足够大，方向垂直于纸面向里的匀强磁场，其边界为MN，与金属板垂直金属板的下极板接地，上极板的电压u随时间变化的图线如图乙所示，匀强磁场的磁感应强度B=1.0×10^-2T现有带正电的粒子以v₀=5.0×l0⁵m/s的速度沿两板间的中线OOˊ连续进入电场，经电场后射人磁场，已知带电粒子的比荷q/m=10⁸C/kg，粒子的重力忽略不计，假设在粒子通过电场区域的极短时间内极板间的电压可以看作不变，不计粒子间的作用（计算中取tan15⁰=4/15）。
（1）求t=0时刻进入的粒子，经边界MN射入磁场和射出磁场时两点间的距离；
（2）求t=0.30s时刻进入的粒子，在磁场中运动的时间；
（3）试证明：在以上装置不变时，以v₀射人电场比荷相同的带电粒子，经边界MN 射入磁场和射出磁场时两点间的距离都相等。

Answer 1

解：（1）带电粒子通过电场的时间
△t远远小于电压变化周期，可以认为带电粒子在极短时间通过电场，通过电场时的场强不变。
t=0时，u=0，带电粒子在极板间不偏转，水平射入磁场，
有，
s=2r=1.0m
（2）带电粒子在匀强电场中水平方向的速度v₀=5.0×10m/s
竖直方向的速度：
所以进入磁场时速度与初速度方向的夹角为α。如图所示



解得：
由几何关系可知，带电粒子在磁场中运动的圆弧所对的圆心角为φ，即为150⁰
设带电粒子在磁场中运动的时间为t，
所以
（3）证明：设带电粒子射入磁场时的速度为v，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，
进入磁场时带电粒子速度的方向与初速度的方向的夹角为
由几何关系可知，带电粒子在磁场中运动的圆弧所对的圆心角为φ=π-2α，
带电粒子在磁场中的圆弧所对的弦长为s-2rcosα

从上式可知弦长s取决于磁感应强度、粒子的比荷及初速度，而与电场无关。