如图所示.边长为L的正方形PQMN区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场.左侧有水平向右的匀强电场.场强大小为E．质量为m.电荷量为q的带正电粒子从O点由静止开始释放.OPQ三点在同一水平直线上.OP=L.带电粒子恰好从M点离开磁场.不计带电粒子重力.求:(1)粒子从O点运动到M点经历的时间,(2)若磁场磁感应强度可调节(不考虑磁场变化产生� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图所示，边长为L的正方形PQMN区域内（含边界）有垂直于纸面向外的匀强磁场，左侧有水平向右的匀强电场，场强大小为E．质量为m、电荷量为q的带正电粒子从O点由静止开始释放，OPQ三点在同一水平直线上，OP=L，带电粒子恰好从M点离开磁场，不计带电粒子重力，求：
（1）粒子从O点运动到M点经历的时间；
（2）若磁场磁感应强度可调节（不考虑磁场变化产生的电磁感应），带电粒子从边界NM上的O′点离开磁场，O′与N点距离为$\frac{L}{3}$，求磁场磁感应强度的可能数值．

分析（1）带电粒子在电场中做加速运动，在磁场中做运动圆周运动，根据动能定理及向心力公式列式，联立方程即可求解B，根据匀加速直线运动位移时间公式求出粒子在电场中运动的时间，根据粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期公式求出在磁场中运动的时间，两者之和即为总时间；
（2）设出粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径，根据半径与L的关系并结合几何关系求出半径，再根据向心力公式求出磁场强度．

解答解：（1）设粒子运动到P点时速度大小为v，
由动能定理得：$qEL=\frac{1}{2}m{v^2}$，
粒子在云强磁场中做匀速圆周运动，半径r=L，
由牛顿第二定律得：$qvB=m\frac{v^2}{r}$，
解得：$B=\sqrt{\frac{2mE}{qL}}$；
设粒子在匀强电场中运动时间为t₁，有：$L=\frac{qE}{2m}t_1^2$，${t_1}=\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$，
粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动周期：$T=\frac{2πm}{qB}$，
运动时间为：${t_2}=\frac{1}{4}T$，
解得：${t_2}=\frac{π}{2}\sqrt{\frac{mL}{2qE}}$，
粒子从O点运动到M经历的时间：$t={t_1}+{t_2}=\frac{4+π}{4}\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$；
（2）若粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动半径为r₁，且r₁＜L＜2r₁
由几何关系得：${（L-{r_1}）^2}+{（\frac{L}{3}）^2}=r_1^2$，
解得：${r_1}=\frac{5}{9}L$，
由牛顿第二定律得：$qv{B_1}=m\frac{v^2}{r_1}$，
解得：${B_1}=\frac{9}{5}\sqrt{\frac{2mE}{qL}}$，
若2r₂＜L＜4r₂，${（3{r_2}-L）^2}+{（\frac{L}{3}）^2}=r_2^2$，
解得：${r_2}^′=\frac{L}{3}$${B_2}^′=3\sqrt{\frac{2mE}{qL}}$，
r₂″=$\frac{5L}{12}$，
B₂″=$\frac{12}{5}$$\sqrt{\frac{2mE}{qL}}$，
磁场磁感应强度的可能数值为：
${B_1}=\frac{9}{5}\sqrt{\frac{2mE}{qL}}$${B_2}^′=3\sqrt{\frac{2mE}{qL}}$，
B₂″=$\frac{12}{5}$$\sqrt{\frac{2mE}{qL}}$；
答：（1）粒子从O点运动到M点经历的时间为$\frac{4+π}{4}$$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$；
（2）磁场磁感应强度的可能数值为：$\frac{9}{5}$$\sqrt{\frac{2mE}{qL}}$、3$\sqrt{\frac{2mE}{qL}}$、$\frac{12}{5}$$\sqrt{\frac{2mE}{qL}}$．

点评本题是带电粒子在组合场中运动的问题，知道带电粒子在电场中做匀加速运动，在磁场中做匀速圆周运动，并能结合几何关系求解，难度适中．

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