Question

（2011?陕西二模）如图所示，空间某平面内有一条折线是磁场的分界线，在折线的两侧分布着方向相反、与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小都为B．折线的顶角∠A=90°，P、Q是折线上的两点，AP=AQ=L．现有一质量为m、电荷量为q的带负电微粒从P点沿PQ方向射出，不计微粒的重力．
（1）若P、Q间外加一与磁场方向垂直的匀强电场，能使速度为v₀射出的微粒沿PQ直线运动到Q点，则场强为多大？方向如何？
（2）撤去电场，为使微粒从P点射出后，途经折线的顶点A而到达Q点，求初速度v应满足什么条件？
（3）求第（2）中微粒从P点到达Q点所用时间的最小值．

Answer 1

分析：（1）微粒沿PQ直线运动到Q点，电场力与洛伦兹力平衡，由平衡条件即可求出场强的大小，判断出电场的方向．
（2）撤去电场，为使微粒从P点射出后，途经折线的顶点A而到达Q点，画出可能的轨迹，由几何知识分析得出AP与轨迹对应的弦长关系，得到半径与L的关系通项，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律即可求出速度．
（3）求出微粒从P到Q过程中圆心角的总和θ，由t=

θ

2π

T求出时间的通项，再求解时间的最小值．

解答： 解：（1）电场力与洛伦兹力平衡得：qE=qv₀B得：E=v₀B，场强方向在纸平面内垂直PQ向上．   
（2）如图所示，画出粒子运动的轨迹，根据运动的对称性，微粒能从P点到达Q点，应满足：L=nx 
其中x为每次偏转圆弧对应的弦长，由于AP=AQ=L，角∠A=90°则知，偏转圆弧对应的圆心角为

π

2

或

3

2

π．
设圆弧的半径为R，则有2R²=x²，可得：R=

2 2 L

n

=

2 L

2n

…①
又：qvB=m

v2

R

…②
由①②式得：v=

2 qBL

2mn

，n=1、2、3、…
（3）当n取奇数时，微粒从P到Q过程中圆心角的总和为
  θ₁=n?

π

2

+n?

3

2

π=2nπ，
则：t₁=2nπ?

m

qB

=

2πm

qB

?n，其中n=1、3、5、…
当n取偶数时，微粒从P到Q过程中圆心角的总和为：
  θ₂=n?

π

2

+n?

π

2

=nπ，
则：t₂=nπ?

m

qB

=

πm

qB

?n，其中n=2、4、6、…
欲使时间最小，取n=1或者2，此时t_min=

2πm

qB

答：（1）若P、Q间外加一与磁场方向垂直的匀强电场，能使速度为v₀射出的微粒沿PQ直线运动到Q点，场强为v₀B，方向在纸平面内垂直PQ向上．
（2）撤去电场，为使微粒从P点射出后，途经折线的顶点A而到达Q点，初速度v应满足的条件是v=

2 qBL

2mn

，n=1、2、3、…．
（3）第（2）中微粒从P点到达Q点所用时间的最小值为

2πm

qB

．

点评：本题中带电粒子在磁场中做周期性运动，关键是运用几何知识分析得到粒子运动半径与L的关系、圆心角的通项，是多解问题，得到的是半径通项，不是特殊值，不能漏解．