Question

17．如图为福州一中某同学设计的一套自动传送系统，逆时针转动的传送带长L=16m，在A端有一离传送带很近的固定挡板，有一质量m=1kg的货箱与传送带间的动摩擦因数μ=0.2，自动装货系统将质量M=15kg的货物装入货箱，货物与货箱在传送带的作用下由静止从A端向B端运动，到B端时无能量损失得滑上光滑水平面并压缩轻弹簧，当弹簧被压缩至最短时自动卸货系统立即将货物卸下，然后货箱被弹回到A端，已知重力加速度g=10m/s²，则
（1）若传送带转动的速度为4m/s，求货物和货箱从传送带A端运动到B端所用的时间．
（2）若为了使货箱从开始至回到A端过程中，在传送带上运动时所用时间最短，则传送带转动的速度要满足什么条件？
（3）若传送带转动的速度为5m/s，假设货箱回到A端与挡板碰撞时无能量损失，则货箱共能与挡板碰撞多少次？

Answer 1

分析 （1）先根据牛顿第二定律求得货物与货箱一起向左运动的加速度，再由速度公式求得加速到与传送带达到相同速度的时间，由位移公式求得加速过程的位移，再得到匀速运动的位移，求出匀速运动的时间，即可得到总时间．
（2）为了使货箱从A端开始再次回到A端时在传送带上所用时间最短，货箱与货物从A端到B端要一直匀加速运动，由动能定理求得传送带转动的最小速度，从而得到
传送带转动的速度要满足的条件．
（3）分过程，由能量守恒定律和动能定理结合研究货箱共能与挡板碰撞的次数．

解答 解：（1）设货物与货箱一起向左运动的加速度为a，由牛顿第二定律可得
   a=$\frac{μ（m+M）g}{m+M}$
经过时间t₁与传送带达到相同速度 v₁=at₁；
此过程货箱的位移 s₁=$\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$
由以上各式解得 t₁=2s，s₁=4m＜16m  
此后货箱与传送带一起匀速运动，运动时间 t₂=$\frac{L-{s}_{1}}{v}$=$\frac{16-4}{4}$=3s
总时间 t=t₁+t₂=5s
（2）为了使货箱从A端开始再次回到A端时在传送带上所用时间最短，货箱与货物从A端到B端要一直匀加速运动，由动能定理得：
   μ（m+M）gL=$\frac{1}{2}（m+M）{v}_{0}^{2}$   
传送带速度 v₂≥v₀．
则解得传送带速度 v₂≥8m/s
（3）由（2）分析可知，当货箱到B端时速度等于传送带速度v₃，设离开弹簧时的速度为v，货箱在与弹簧相互作用过程中，根据能量守恒可得
   $\frac{1}{2}（m+M）{v}_{3}^{2}$=E_p；
  E_p=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得 v=20m/s
设当货箱从离开弹簧到速度减为5m/s时相对于地面的位移为s，由动能定理可得
-μmgs=$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得  s=93.75m
因$\frac{s}{L}$≈5.86
则货箱从第一次离开弹簧到相对传送带静止过程中，货箱与挡板共碰撞了3次．
答：
（1）货物和货箱从传送带A端运动到B端所用的时间是5s．
（2）传送带转动的速度要满足的条件是v₂≥8m/s．
（3）货箱共能与挡板碰撞3次．

点评 本题物体在传送带上的运动问题，关键根据牛顿第二定律求出加速度，结合运动学规律确定货箱的运动情况．