Question

14．如图所示，BC为一段光滑圆弧轨道，B点距滑板上表面高h=1m，DE为半圆形光滑轨道，两圆弧轨道均固定于竖直平面内，两轨道的半径均为R=2m．滑板长L=7m，质量M=1kg，静止在光滑水平地面上，滑板右端紧靠C点，上表面恰可与两圆弧相切于C点和D点，滑板左端到半圆形轨道下端D点的距离L=3m．一物块（可视为质点）质量m=1kg以初速v₀=2$\sqrt{5}$m/s从A点水平抛出，经过一段时间恰在B点沿切线进入BC段圆弧轨道，经C点滑上滑板，滑板左端到达D点时立即披牢固粘连．物块与滑板间的动摩擦因数为μ=0.5，g=10m/s²，求：
（1）物块抛出点A点距滑板上表面的高度H；
（2）物块最终静止时的位置到C点的距离S．

Answer 1

分析 （1）物块落到B点前做平抛运动，应用平抛运动规律求出H的高度．
（2）物块滑到M上后M向左做匀加速运动，m向左做匀减速直线运动，应用牛顿第二定律求出加速度，应用运动学公式与动能定理求出物块的路程，然后求出物块最终静止时到C点的距离．

解答 解：（1）物块开始做平抛运动，物块到达B点时速度如图所示，
由几何知识得：sinθ=$\frac{R-h}{R}$=$\frac{2-1}{2}$=0.5，则θ=30°，α=60°，
v_y=v₀tanα=2$\sqrt{5}$tan60°=2$\sqrt{15}$m/s，
物块从A到B过程做平抛运动，
H-h=$\frac{{v}_{y}^{2}}{2g}$=$\frac{（2\sqrt{15}）^{2}}{2×10}$=3m；
解得：H=4m
（2）到达B点时的速度：v=$\frac{{v}_{0}}{cosα}$=$\frac{2\sqrt{5}}{cos60°}$=4$\sqrt{5}$m/s，
从B到C过程，由动能定理得：
mgh=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv²，解得：v_C=10m/s，
物块滑上滑板后向左做匀减速直线运动，滑板向左做匀加速直线运动，
由牛顿第二定律得，对物块：a=$\frac{μmg}{m}$=μg=0.5×10=5m/s²，
对滑板：a′=$\frac{μmg}{M}$=$\frac{0.5×10×1}{1}$=5m/s²，
物块与滑板组成的系统动量守恒，当两者速度相等过程中，
以向左为正方向，由动量守恒定律得：mv_C=（M+m）v_共，解得：v_共=5m/s，
该过程滑块的位移：x′=$\frac{{v}_{共}^{2}}{2a′}$=$\frac{{5}^{2}}{2×5}$=2.5m＜L′，
物块的位移：x=$\frac{{v}_{共}^{2}-{v}_{C}^{2}}{2a}$=$\frac{{5}^{2}-1{0}^{2}}{2×（-5）}$=7.5m＜x′+L=9.5m，
此时物块仍在滑板上，距离滑板右端C的距离：d=L-（x-x′）=7-（7.5-2.5）=2m，
然后物块与滑板一起向左做匀速直线运动直到滑板被锁死，
滑板被锁死后物块在滑板上向左运动，然后在圆弧轨道上滑，然后再返回滑板向右运动，直到静止，
从滑板被锁死到物块静止的整个过程中，对物块，由动能定理得：
-μmgs=0-$\frac{1}{2}$mv_共²，解得：s=2.5m，则物块最终静止的位置距滑板C端的距离：
S=L-（s-d）=7-（2.5-2）=6.5m；
答：（1）物块抛出点A点距滑板上表面的高度H为4m；
（2）物块最终静止时的位置到C点的距离S为6.5m．

点评 本题考查了求高度与距离问题，本题是一道力学综合题，物体运动过程复杂，本题难度较大，分析清楚物体运动过程是本题解题的关键，应用动能定理、运动学公式、牛顿第二定律即可解题．